MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Các Bước Khảo Sát Hàm Số

Khảo sát hàm số là quá trình tìm hiểu chi tiết các tính chất của hàm số để có thể vẽ được đồ thị của nó. Quá trình này thường bao gồm 5 bước tuần tự: Tìm tập xác định (TXĐ), khảo sát sự biến thiên, tìm các đường tiệm cận, lập bảng biến thiên và cuối cùng là vẽ đồ thị. Nắm vững các bước này là nền tảng để hiểu rõ hành vi của hàm số.

x	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
f'(x)		+	0	-	0	+
f(x)	$-\infty$	↗	$3$	↘	$-1$	↗	$+\infty$

Đâu là bước đầu tiên trong quy trình khảo sát hàm số?

Mạch 2/4

Khảo Sát Sự Biến Thiên

Sự biến thiên của hàm số cho biết hàm số đồng biến (tăng) hay nghịch biến (giảm) trên từng khoảng. Để khảo sát, ta tính đạo hàm $f'(x)$ , tìm các nghiệm của phương trình $f'(x)=0$ . Dựa vào dấu của $f'(x)$ trong các khoảng xác định bởi nghiệm của nó và các điểm gián đoạn (nếu có), ta xác định được các khoảng đồng biến và nghịch biến. Điểm cực trị xảy ra tại nơi đạo hàm đổi dấu.

x	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
f'(x)		+	0	-	0	+
f(x)	$-\infty$	↗	$3$	↘	$-1$	↗	$+\infty$

Để xác định sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, ta cần xét dấu của đại lượng nào?

Mạch 3/4

Tiệm Cận

Tiệm cận giúp mô tả hành vi của đồ thị hàm số khi biến $x$ tiến ra vô cùng hoặc khi $x$ tiến đến một giá trị làm cho $y$ tiến ra vô cùng. Tiệm cận đứng là đường thẳng $x=a$ sao cho $\lim_{x\to a^{\pm}}f(x)=\pm\infty$ . Tiệm cận ngang là đường thẳng $y=L$ sao cho $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ . Tiệm cận xiên là đường thẳng $y=ax+b$ với $\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$ .

Đường thẳng $y=L$ được gọi là tiệm cận ngang nếu thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

Mạch 4/4

Bảng Biến Thiên và Đồ Thị

Bảng biến thiên là bản tóm tắt các kết quả về tập xác định, các điểm đặc biệt, các khoảng đồng biến, nghịch biến, các giá trị cực trị và các giới hạn của hàm số. Dựa vào bảng biến thiên và các đường tiệm cận đã tìm được, ta có thể phác thảo chính xác đồ thị của hàm số. Việc này giúp hình dung trực quan các tính chất đã phân tích.

x	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
f'(x)		+	0	-	0	+
f(x)	$-\infty$	↗	$3$	↘	$-1$	↗	$+\infty$

Bảng biến thiên giúp ta xác định được những thông tin gì về hàm số?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Năm bước: TXĐ → biến thiên → tiệm cận → bảng biến thiên → đồ thị.
$f'(a)=0$ chưa chắc là cực trị — phải xét đổi dấu.
$\frac{ax+b}{cx+d}$ : tiệm cận đứng $x=-d/c$ , tiệm cận ngang $y=a/c$ .
Bậc bốn đối xứng: đặt $t=x^2$ khảo sát hàm bậc hai.
Đếm nghiệm $f=m$ : vẽ đường $y=m$ cắt đồ thị.

Lỗi hay gặp

$f'(a)=0$ kết luận ngay là cực trị.
Sửa: Phải xét dấu $f'$ quanh $a$ . Nếu không đổi dấu thì là điểm uốn, không phải cực trị.
$(x-a)$ rút gọn được với tử → $x=a$ là tiệm cận đứng.
Sửa: Nếu $(x-a)$ triệt tiêu, đó là lỗ hổng (hole), không phải tiệm cận đứng.

Quy trình

Quy trình giải

1

Tìm TXĐ

Loại các giá trị làm mẫu bằng 0, biểu thức dưới căn âm, hoặc logarit không dương.

2

Tính đạo hàm y'

Tính y' bằng quy tắc đạo hàm phù hợp; rút gọn về dạng phân số hoặc tích.

→Xem lại: Đạo hàm

3

Lập bảng biến thiên (BBT)

Tìm nghiệm y'=0 và điểm y' không xác định; xét dấu y' trên từng khoảng.

💡 Ghi đầy đủ: x, y', y vào bảng

4

Tìm tiệm cận

Tiệm cận đứng: mẫu = 0; tiệm cận ngang: lim_{x→±∞} f(x); tiệm cận xiên nếu có.

→Xem lại: Tiệm cận đoạn

5

Vẽ đồ thị

Xác định điểm đặc biệt (cực trị, giao Ox, Oy, tiệm cận) rồi vẽ đường cong qua các điểm đó.

Ví dụ 1/5

Ví dụ 1

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1

L2

Khảo sát

y=x^3-3x+2

Ví dụ 2/5

Ví dụ 2

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2

L2

Số nghiệm của

x^3-3x+2=m

Ví dụ 3/5

Ví dụ 3

VÍ DỤ 3 · Ví dụ 3

L2

Cho hàm số

y=f(x)

có bảng biến thiên như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình

f(x)=-6

là:

x	$-\infty$		$-1$		$0$		$+\infty$
f'(x)		+	0	0	0	-
f(x)	$-\infty$	↗	$1$	↘	$-2$	↘	$+\infty$

Ví dụ 4/5

Ví dụ 4

VÍ DỤ 4 · Ví dụ 4

L3

Cho hàm số

y=f(x)

có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm tất cả giá trị của

m

để phương trình

f(x)=m

có

3

nghiệm phân biệt.

x	$-\infty$		$0$		$2$		$+\infty$
f'(x)		+	0	0	0	-
f(x)	$-\infty$	↗	$6$	↘	$0$	↘	$+\infty$

Ví dụ 5/5

Ví dụ 5

VÍ DỤ 5 · Ví dụ 5

L4

Tìm tất cả giá trị của

m

để hàm số

y=x^3 - 3mx + 5

đồng biến trên

\mathbb{R}

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Thực hiện 5 bước khảo sát: TXĐ→y'→BBT→tiệm cận→đồ thị.

1Tính TXĐ và y'
2Lập BBT đầy đủ
3Tìm tiệm cận và vẽ đồ thị

⚠️ Hàm phân thức ax+b/cx+d luôn có tiệm cận đứng và ngang

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Khảo sát hàm số cho bức tranh đầy đủ về hành vi của một quá trình.

Kinh tế: Phân tích đồ thị lợi nhuận, chi phí để ra quyết định.

Y học: Đồ thị nồng độ thuốc theo thời gian giúp định liều.

Kỹ thuật: Khảo sát đặc tuyến để thiết kế hệ thống ổn định.

Thú vị: Đồ thị nồng độ thuốc trong máu (tăng rồi giảm, có cực đại) chính là một bài khảo sát hàm số — bác sĩ dựa vào đó để kê liều và khoảng cách giữa các lần uống!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

2

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

3

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình. Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực tiểu của hàm số bằng bao nhiêu?

x	$-\infty$		$2$		$5$		$+\infty$
f'(x)		+	0	-	0	+
f(x)	$-\infty$	↗	$12$	↘	$5$	↗	$+\infty$

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)