Đạo hàm của hàm số $f$ tại điểm $a$, ký hiệu $f'(a)$, đo lường tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Nó được định nghĩa bằng giới hạn sau: $f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Giá trị này cho biết hàm số biến thiên nhanh hay chậm tại $a$.

Về mặt hình học, đạo hàm $f'(a)$ của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x=a$ chính là hệ số góc của đường thẳng tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có tọa độ $(a, f(a))$. Nếu $f'(a) > 0$, tiếp tuyến đi lên; nếu $f'(a) < 0$, tiếp tuyến đi xuống; nếu $f'(a) = 0$, tiếp tuyến nằm ngang.

Để tính đạo hàm, chúng ta cần nắm vững các công thức cơ bản. Một số công thức thường gặp là: đạo hàm của hàm lũy thừa $(x^n)' = nx^{n-1}$, đạo hàm của hàm mũ $(e^x)' = e^x$ và $(a^x)' = a^x\ln a$, đạo hàm của hàm logarit $(\ln x)' = 1/x$, cùng các hàm lượng giác $(\sin x)' = \cos x$ và $(\cos x)' = -\sin x$.

Khi tính đạo hàm các hàm số phức tạp hơn, ta áp dụng các quy tắc như: quy tắc tổng/hiệu $(f\pm g)'=f'\pm g'$, quy tắc tích $(fg)'=f'g+fg'$, quy tắc thương $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$, và quy tắc hàm hợp $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$. Quy tắc hàm hợp yêu cầu nhân đạo hàm của hàm ngoài theo hàm trong với đạo hàm của hàm trong.

Xét hàm số $f(x) = x^3 + \sin x$. Sử dụng quy tắc tổng và các công thức cơ bản, ta có đạo hàm: $f'(x) = (x^3)' + (\sin x)' = 3x^2 + \cos x$. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số này tại điểm $x=0$ có hệ số góc là $f'(0) = 3(0)^2 + \cos(0) = 1$. Phương trình tiếp tuyến là $y = 1(x-0) + f(0) = x + 0 = x$.