MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng song song $(P): Ax+By+Cz+D_1=0$ và $(Q): Ax+By+Cz+D_2=0$ . Khoảng cách $h$ giữa $(P)$ và $(Q)$ được tính bằng công thức $h = \dfrac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ . Hoặc, ta có thể lấy một điểm $M$ bất kỳ thuộc mặt phẳng này và tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng kia.

Cho hai mặt phẳng song song $(P): 2x+y-z+3=0$ và $(Q): 2x+y-z-1=0$ . Khoảng cách giữa $(P)$ và $(Q)$ là bao nhiêu?

Mạch 2/4

Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song

Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ song song với nhau. Để tính khoảng cách $h$ từ $d$ đến $(P)$ , ta chọn một điểm $M$ bất kỳ trên đường thẳng $d$ và tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P)$ . Công thức này dựa trên tính chất mọi điểm trên $d$ cách đều $(P)$ một khoảng không đổi.

Tìm khoảng cách từ đường thẳng $d: \begin{cases} x=1+t \\ y=2+t \\ z=3+t \end{cases}$ đến mặt phẳng $(P): x+y+z-1=0$ , biết $d \parallel (P)$ .

Mạch 3/4

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Cho hai đường thẳng song song $d_1$ và $d_2$ . Để tính khoảng cách $h$ giữa chúng, ta chọn một điểm $M$ bất kỳ trên đường thẳng $d_1$ và tính khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d_2$ .

Cho hai đường thẳng song song $d_1: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{1}$ và $d_2$ đi qua điểm $A(2,0,1)$ và có cùng VTCP với $d_1$ . Khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$ là:

Mạch 4/4

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau $d_1$ và $d_2$ với VTCP lần lượt là $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ và đi qua các điểm $M_1, M_2$ . Khoảng cách $h$ giữa $d_1$ và $d_2$ được tính bằng công thức: $h = \dfrac{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2}|}{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}]|}$ .

Cho hai đường thẳng chéo nhau $d_1: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và $d_2: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{1}$ . Khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$ là:

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

2 mp //: |D₁-D₂|/√(A²+B²+C²) khi cùng VTPT
Đt // mp: dùng điểm trên đt
2 đt //: dùng điểm trên 1 đt
2 đt chéo: |[u₁,u₂]·M₁M₂| / |[u₁,u₂]|
Luôn quy về k/c điểm-đt hoặc điểm-mp

Lỗi hay gặp

Dùng công thức 2 mp song song khi 2 mp không cùng VTPT
Sửa: Chuẩn hóa VTPT trước, hoặc lấy điểm tính
Quên kiểm tra 2 đt chéo nhau
Sửa: Phải xét cùng phương và đồng phẳng trước

Quy trình

Quy trình giải

1

Kiểm tra hai đường thẳng chéo nhau

Hai đường thẳng chéo nhau: không song song, không cắt nhau, không trùng nhau.

→Xem lại: PT đường thẳng (KG)

2

Tìm véctơ pháp tuyến chung

⃗n = ⃗u₁ × ⃗u₂ (tích có hướng của hai véctơ chỉ phương); đây là phương vuông góc với cả hai đường.

💡 Nếu ⃗u₁//⃗u₂ thì hai đt song song, không chéo

→Xem lại: Phương trình mặt phẳng

3

Tính khoảng cách

d = |⃗{A₁A₂}·⃗n|/|⃗n| với A₁∈d₁, A₂∈d₂ và ⃗n=⃗u₁×⃗u₂.

4

Tính tích có hướng

⃗u₁×⃗u₂ = (u₁y·u₂z−u₁z·u₂y, u₁z·u₂x−u₁x·u₂z, u₁x·u₂y−u₁y·u₂x).

5

Kiểm tra và kết luận

d=0 nghĩa là hai đường cắt nhau hoặc trùng nhau; d>0 là khoảng cách thực.

Ví dụ 1/2

Ví dụ 1 (TH): Khoảng cách hai điểm

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1 (TH): Khoảng cách hai điểm

L2

Tính khoảng cách giữa hai điểm

A(1;2;3)

và

B(4;6;3)

.

Ví dụ 2/2

Ví dụ 2 (VD): Khoảng cách hai mặt phẳng song song

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2 (VD): Khoảng cách hai mặt phẳng song song

L3

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

(P): x+2y+2z-3=0

và

(Q): x+2y+2z+6=0

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dùng tích có hướng và véctơ nối hai điểm để tính khoảng cách.

1Xác định ⃗u₁, ⃗u₂ và điểm A₁∈d₁, A₂∈d₂
2Tính ⃗n=⃗u₁×⃗u₂
3d=|⃗{A₁A₂}·⃗n|/|⃗n|

⚠️ Chọn điểm A₁,A₂ đơn giản nhất (thường lấy khi t=0 trong phương trình tham số)

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Khoảng cách giữa các đối tượng trong KG là bài toán tối ưu vị trí, quan trọng cho an toàn.

Hàng không: K/c an toàn giữa 2 đường bay (đt chéo nhau)

Robot: K/c giữa các cánh tay máy để tránh va chạm

Kiến trúc: K/c giữa các dầm, ống dẫn song song

Thú vị: Hệ thống kiểm soát không lưu liên tục tính khoảng cách giữa các đường bay (đt chéo nhau) để giữ máy bay cách nhau an toàn!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng

2

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng

3

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng song song $(P_1): 3x - y + 2z - 5 = 0$ và $(P_2): 3x - y + 2z + 7 = 0$ . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P_1)$ và $(P_2)$ là:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)