ThoátLý thuyếtPhương trình đường thẳng trong không gian Công cụ
1/15

Trang 1: 1. Vectơ Chỉ Phương (VTCP)

Mạch 1/4

1. Vectơ Chỉ Phương (VTCP)

Trong không gian OxyzOxyz, một đường thẳng dd được xác định khi biết một điểm M0(x0;y0;z0)M_0(x_0; y_0; z_0) thuộc đường thẳng và một vectơ u⃗=(a;b;c)≠0⃗\vec u = (a; b; c) \ne \vec 0 gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng dd. VTCP có giá song song hoặc trùng với đường thẳng dd.

OxzyA

Đường thẳng xác định bởi một điểm A và vectơ chỉ phương

Vectơ nào sau đây có thể là VTCP của đường thẳng dd?

Mạch 2/4

2. Phương Trình Tham Số

Nếu đường thẳng dd đi qua điểm M0(x0;y0;z0)M_0(x_0; y_0; z_0) và có VTCP u⃗=(a;b;c)\vec u = (a; b; c) thì phương trình tham số của dd có dạng: {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} với tt là tham số, t∈Rt \in \mathbb{R}. Mỗi giá trị của tt cho ta một điểm duy nhất trên đường thẳng.

OxzyA

Đường thẳng xác định bởi một điểm A và vectơ chỉ phương

Cho đường thẳng dd đi qua M(1;2;3)M(1; 2; 3) và có VTCP u⃗=(2;−1;4)\vec u = (2; -1; 4). Phương trình tham số của dd là:

Mạch 3/4

3. Phương Trình Chính Tắc

Nếu đường thẳng dd đi qua điểm M0(x0;y0;z0)M_0(x_0; y_0; z_0) và có VTCP u⃗=(a;b;c)\vec u = (a; b; c) với a,b,c≠0a, b, c \ne 0, thì phương trình chính tắc của dd có dạng: x−x0a=y−y0b=z−z0c\dfrac{x-x_0}{a} = \dfrac{y-y_0}{b} = \dfrac{z-z_0}{c}

OxzyM₀

Dạng chính tắc: (x−x₀)/a = (y−y₀)/b = (z−z₀)/c

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua M(1;0;−2)M(1; 0; -2) với VTCP u⃗=(3;1;5)\vec u = (3; 1; 5) là:

Mạch 4/4

4. Vị Trí Tương Đối Hai Đường Thẳng

Cho hai đường thẳng d1,d2d_1, d_2 có VTCP lần lượt là u⃗1,u⃗2\vec u_1, \vec u_2. Nếu u⃗1\vec u_1 và u⃗2\vec u_2 cùng phương thì d1d_1 và d2d_2 song song hoặc trùng nhau. Nếu u⃗1,u⃗2\vec u_1, \vec u_2 không cùng phương, xét thêm một điểm M1∈d1,M2∈d2M_1 \in d_1, M_2 \in d_2. Nếu hai vectơ M⃗1M2\vec M_1M_2 và u⃗1,u⃗2\vec u_1, \vec u_2 đồng phẳng thì d1,d2d_1, d_2 cắt nhau. Ngược lại, chúng chéo nhau.

Oxzy

Hai mặt phẳng: song song, trùng nhau, hoặc cắt theo một giao tuyến

Hai đường thẳng d1,d2d_1, d_2 có VTCP u⃗1=(1;2;3)\vec u_1=(1;2;3) và u⃗2=(−2;−4;−6)\vec u_2=(-2;-4;-6). Vị trí tương đối của d1d_1 và d2d_2 là:

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

  • VTCP nằm dọc đường thẳng
  • PT tham số có biến tham số t
  • PT chính tắc khi VTCP không có thành phần = 0
  • Đt vuông góc mp lấy VTPT làm VTCP
  • Đt nằm trong mp: VTCP vuông góc VTPT

Lỗi hay gặp

Lỗi hay gặp

  • Lẫn VTCP với VTPT
    Sửa: VTCP dọc đường thẳng; VTPT vuông góc mặt phẳng
  • Viết PT chính tắc khi VTCP có thành phần = 0
    Sửa: Phải tách thành phần đó ra phương trình riêng

Quy trình

Quy trình giải

1

Dạng phương trình đường thẳng

Dạng tham số: x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct; dạng chính tắc: (x−x₀)/a=(y−y₀)/b=(z−z₀)/c.

2

Xác định điểm và véctơ chỉ phương

Điểm M₀(x₀,y₀,z₀) trên đường thẳng và u⃗=(a,b,c) là véctơ chỉ phương.

💡 Từ hai điểm A,B: u⃗=A⃗B=(x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)

→Xem lại: Véctơ trong không gian
3

Viết phương trình tham số

x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct (t∈ℝ); mỗi giá trị t cho một điểm trên đường thẳng.

4

Chuyển đổi giữa các dạng

Từ tham số suy ra chính tắc; từ chính tắc đọc điểm và véctơ chỉ phương.

5

Giao điểm với mặt phẳng

Thay x,y,z dạng tham số vào phương trình mp, giải tìm t, thay ngược để lấy tọa độ giao điểm.

Ví dụ 1/5

Ví dụ 1 (TH): Đường thẳng qua điểm có VTCP

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1 (TH): Đường thẳng qua điểm có VTCP
L2
Viết phương trình tham số đường thẳng qua A(1;2;3)A(1;2;3) có vectơ chỉ phương u⃗=(2;−1;2)\vec{u}=(2;-1;2).

Ví dụ 2/5

Ví dụ 2 (VD): Đường thẳng qua hai điểm

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2 (VD): Đường thẳng qua hai điểm
L3
Viết phương trình tham số đường thẳng qua A(1;0;2)A(1;0;2) và B(3;4;0)B(3;4;0).

Ví dụ 3/5

Ví dụ 3

VÍ DỤ 3 · Ví dụ 3
L2
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(4;1;−1)M(4; 1; -1) và có vectơ chỉ phương u⃗=(−3;2;2)\vec{u}=(-3; 2; 2) là:

Ví dụ 4/5

Ví dụ 4

VÍ DỤ 4 · Ví dụ 4
L3
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(3;−1;0)A(3; -1; 0) và B(6;−3;2)B(6; -3; 2) là:

Ví dụ 5/5

Ví dụ 5

VÍ DỤ 5 · Ví dụ 5
L4
Đường thẳng dd đi qua M(1;2;1)M(1; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P):3x+4y+3z+1=0(P): 3x + 4y + 3z + 1 = 0. Phương trình tham số của dd là:

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Lập phương trình đường thẳng qua điểm, biết véctơ chỉ phương hoặc hai điểm.

  1. 1Xác định điểm M₀ và u⃗=(a,b,c)
  2. 2Viết dạng tham số
  3. 3Chuyển sang dạng chính tắc nếu cần

⚠️ Kiểm tra điểm thứ hai có thỏa phương trình không

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Phương trình đường thẳng trong không gian mô tả mọi tia/đường thẳng 3D.

Đồ họa: Tia sáng trong dò tia (ray tracing) là đường thẳng KG
Hàng không: Đường bay thẳng giữa hai điểm
Robot: Quỹ đạo di chuyển thẳng của đầu công cụ

Thú vị: Công nghệ ray tracing trong game/phim mô phỏng triệu tia sáng — mỗi tia là phương trình đường thẳng trong Oxyz!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Đường thẳng d:{x=1+4ty=−2−2tz=−2−4td: \begin{cases}x=1 + 4t\\ y=-2 - 2t\\ z=-2 - 4t\end{cases} đi qua điểm nào sau đây?

2

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d:{x=−2−4ty=3−3tz=1+2td: \begin{cases}x=-2 - 4t\\ y=3 - 3t\\ z=1 + 2t\end{cases} là:

3

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d:{x=0−2ty=−4−1tz=0−3td: \begin{cases}x=0 - 2t\\ y=-4 - 1t\\ z=0 - 3t\end{cases} là:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)

Luyện tập