MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

1. Vectơ Chỉ Phương (VTCP)

Trong không gian $Oxyz$ , một đường thẳng $d$ được xác định khi biết một điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ thuộc đường thẳng và một vectơ $\vec u = (a; b; c) \ne \vec 0$ gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng $d$ . VTCP có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $d$ .

Vectơ nào sau đây có thể là VTCP của đường thẳng $d$ ?

Mạch 2/4

2. Phương Trình Tham Số

Nếu đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có VTCP $\vec u = (a; b; c)$ thì phương trình tham số của $d$ có dạng: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$ với $t$ là tham số, $t \in \mathbb{R}$ . Mỗi giá trị của $t$ cho ta một điểm duy nhất trên đường thẳng.

Cho đường thẳng $d$ đi qua $M(1; 2; 3)$ và có VTCP $\vec u = (2; -1; 4)$ . Phương trình tham số của $d$ là:

Mạch 3/4

3. Phương Trình Chính Tắc

Nếu đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có VTCP $\vec u = (a; b; c)$ với $a, b, c \ne 0$ , thì phương trình chính tắc của $d$ có dạng: $\dfrac{x-x_0}{a} = \dfrac{y-y_0}{b} = \dfrac{z-z_0}{c}$

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $M(1; 0; -2)$ với VTCP $\vec u = (3; 1; 5)$ là:

Mạch 4/4

4. Vị Trí Tương Đối Hai Đường Thẳng

Cho hai đường thẳng $d_1, d_2$ có VTCP lần lượt là $\vec u_1, \vec u_2$ . Nếu $\vec u_1$ và $\vec u_2$ cùng phương thì $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau. Nếu $\vec u_1, \vec u_2$ không cùng phương, xét thêm một điểm $M_1 \in d_1, M_2 \in d_2$ . Nếu hai vectơ $\vec M_1M_2$ và $\vec u_1, \vec u_2$ đồng phẳng thì $d_1, d_2$ cắt nhau. Ngược lại, chúng chéo nhau.

Hai đường thẳng $d_1, d_2$ có VTCP $\vec u_1=(1;2;3)$ và $\vec u_2=(-2;-4;-6)$ . Vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$ là:

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

VTCP nằm dọc đường thẳng
PT tham số có biến tham số t
PT chính tắc khi VTCP không có thành phần = 0
Đt vuông góc mp lấy VTPT làm VTCP
Đt nằm trong mp: VTCP vuông góc VTPT

Lỗi hay gặp

Lẫn VTCP với VTPT
Sửa: VTCP dọc đường thẳng; VTPT vuông góc mặt phẳng
Viết PT chính tắc khi VTCP có thành phần = 0
Sửa: Phải tách thành phần đó ra phương trình riêng

Quy trình

Quy trình giải

1

Dạng phương trình đường thẳng

Dạng tham số: x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct; dạng chính tắc: (x−x₀)/a=(y−y₀)/b=(z−z₀)/c.

2

Xác định điểm và véctơ chỉ phương

Điểm M₀(x₀,y₀,z₀) trên đường thẳng và ⃗u=(a,b,c) là véctơ chỉ phương.

💡 Từ hai điểm A,B: ⃗u=⃗AB=(x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)

→Xem lại: Véctơ trong không gian

3

Viết phương trình tham số

x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct (t∈ℝ); mỗi giá trị t cho một điểm trên đường thẳng.

4

Chuyển đổi giữa các dạng

Từ tham số suy ra chính tắc; từ chính tắc đọc điểm và véctơ chỉ phương.

5

Giao điểm với mặt phẳng

Thay x,y,z dạng tham số vào phương trình mp, giải tìm t, thay ngược để lấy tọa độ giao điểm.

Ví dụ 1/2

Ví dụ 1 (TH): Đường thẳng qua điểm có VTCP

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1 (TH): Đường thẳng qua điểm có VTCP

L2

Viết phương trình tham số đường thẳng qua

A(1;2;3)

có vectơ chỉ phương

\vec{u}=(2;-1;2)

.

Ví dụ 2/2

Ví dụ 2 (VD): Đường thẳng qua hai điểm

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2 (VD): Đường thẳng qua hai điểm

L3

Viết phương trình tham số đường thẳng qua

A(1;0;2)

và

B(3;4;0)

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Lập phương trình đường thẳng qua điểm, biết véctơ chỉ phương hoặc hai điểm.

1Xác định điểm M₀ và ⃗u=(a,b,c)
2Viết dạng tham số
3Chuyển sang dạng chính tắc nếu cần

⚠️ Kiểm tra điểm thứ hai có thỏa phương trình không

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Phương trình đường thẳng trong không gian mô tả mọi tia/đường thẳng 3D.

Đồ họa: Tia sáng trong dò tia (ray tracing) là đường thẳng KG

Hàng không: Đường bay thẳng giữa hai điểm

Robot: Quỹ đạo di chuyển thẳng của đầu công cụ

Thú vị: Công nghệ ray tracing trong game/phim mô phỏng triệu tia sáng — mỗi tia là phương trình đường thẳng trong Oxyz!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A(1;2;3)$ với VTCP $\vec{u}=(2;-1;1)$ là:

2

Đường thẳng $d: \begin{cases}x=1 + 4t\\ y=-2 - 2t\\ z=-2 - 4t\end{cases}$ đi qua điểm nào sau đây?

3

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d: \begin{cases}x=-2 - 4t\\ y=3 - 3t\\ z=1 + 2t\end{cases}$ là:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)