MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/3

Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là góc giữa đường thẳng $d$ và đường thẳng $d'$ là hình chiếu của $d$ lên mặt phẳng $(P)$ . Góc này luôn nằm trong khoảng từ $0^{\circ}$ đến $90^{\circ}$ . Nếu đường thẳng $d$ song song hoặc nằm trong mặt phẳng $(P)$ , góc giữa chúng bằng $0^{\circ}$ .

Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ được định nghĩa là góc giữa $d$ và:

Mạch 2/3

Tính góc khi biết VTCP và VTPT

Cho đường thẳng $d$ có VTCP $\vec u$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec n$ . Gọi $\theta$ là góc giữa $d$ và $(P)$ . Ta có công thức tính $\sin\theta$ như sau: $\sin\theta = \dfrac{|\vec u \cdot \vec n|}{|\vec u| |\vec n|}$ . Lưu ý sử dụng $\sin\theta$ , không phải $\cos\theta$ .

Cho đường thẳng $d$ có VTCP $\vec u = (1; 2; -1)$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec n = (2; -1; 3)$ . Tính $\sin\theta$ , với $\theta$ là góc giữa $d$ và $(P)$ ?

Mạch 3/3

Trường hợp đặc biệt

Nếu VTCP $\vec u$ của đường thẳng $d$ và VTPT $\vec n$ của mặt phẳng $(P)$ cùng phương (tức là $\vec u = k\vec n$ với $k \neq 0$ ), thì đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ , và góc giữa chúng bằng $90^{\circ}$ . Ngược lại, nếu $\vec u \cdot \vec n = 0$ , thì $d$ song song hoặc nằm trong $(P)$ , góc bằng $0^{\circ}$ .

Khi nào góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $90^{\circ}$ ?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Góc = góc đt với hình chiếu của nó
sinθ = |u·n| / (|u||n|) (lưu ý sin, không phải cos)
u // n ⟺ đt vuông góc mp
u·n = 0 ⟺ đt // mp hoặc nằm trong
Khoảng giá trị: [0°; 90°]

Lỗi hay gặp

Dùng cos thay vì sin
Sửa: Đt-mp dùng sin = |u·n|/(|u||n|)
Quên trị tuyệt đối
Sửa: |u·n| để góc luôn không âm

Quy trình

Quy trình giải

1

Tìm véctơ chỉ phương đường thẳng

Đường thẳng có véctơ chỉ phương ⃗u; mặt phẳng có véctơ pháp tuyến ⃗n.

→Xem lại: PT đường thẳng (KG)

2

Công thức góc giữa đt và mp

sinφ = |⃗u·⃗n|/(|⃗u||⃗n|) với φ∈[0°,90°]; đây là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

💡 Góc giữa đt và mp (không phải đt và véctơ pháp)

3

Tính tích vô hướng

⃗u·⃗n = u_x·n_x + u_y·n_y + u_z·n_z; tính chính xác từng thành phần.

4

Tính độ dài véctơ

|⃗u| = √(u_x²+u_y²+u_z²); |⃗n| = √(n_x²+n_y²+n_z²).

→Xem lại: Véctơ trong không gian

5

Tính góc và kết luận

φ = arcsin(|⃗u·⃗n|/(|⃗u||⃗n|)); ghi kết quả ở dạng độ hoặc radian.

Ví dụ 1/2

Ví dụ 1 (TH): Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1 (TH): Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

L2

Tính góc giữa đường thẳng

d: x=t,\,y=t,\,z=t

và mặt phẳng

(P): z=0

.

Ví dụ 2/2

Ví dụ 2 (VD): Góc với mặt phẳng tổng quát

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2 (VD): Góc với mặt phẳng tổng quát

L3

Tính

\sin

của góc giữa

d

có VTCP

\vec{u}=(2;1;-2)

và

(P): x-2y+2z-1=0

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dùng công thức sinφ=|⃗u·⃗n|/(|⃗u||⃗n|) để tính góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng.

1Tìm ⃗u (chỉ phương đt) và ⃗n (pháp tuyến mp)
2Tính tích vô hướng và độ dài
3sinφ=|⃗u·⃗n|/(|⃗u||⃗n|)

⚠️ Kết quả φ∈[0°;90°]; đt song song mp khi φ=0°

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Góc giữa đt và mp đo độ nghiêng quỹ đạo so với bề mặt.

Hàng không: Góc hạ cánh của máy bay so với đường băng

Xây dựng: Góc nghiêng cầu thang, đường dốc

Thể thao: Góc nhảy, góc ném tối ưu

Thú vị: Máy bay hạ cánh ở góc chuẩn ~3° so với đường băng — đúng là bài toán góc đt-mp ở mức quyết định an toàn!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Cho VTCP $\vec{u}=(1; 1; -3)$ và VTPT $\vec{n}=(-2; 1; -4)$ . Tích vô hướng $\vec{u}\cdot\vec{n}$ bằng:

2

Cho VTCP $\vec{u}=(3; -2; -4)$ và VTPT $\vec{n}=(-4; -1; -3)$ . Tích vô hướng $\vec{u}\cdot\vec{n}$ bằng:

3

Cho VTCP $\vec{u}=(-3; -2; 2)$ và VTPT $\vec{n}=(-1; -2; -3)$ . Tích vô hướng $\vec{u}\cdot\vec{n}$ bằng:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)