ThoátLý thuyếtGóc giữa đường thẳng và mặt phẳng Công cụ
1/15

Trang 1: Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Mạch 1/4

Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng dd và mặt phẳng (P)(P) là góc giữa đường thẳng dd và đường thẳng d′d' là hình chiếu của dd lên mặt phẳng (P)(P). Góc này luôn nằm trong khoảng từ 0∘0^{\circ} đến 90∘90^{\circ}. Nếu đường thẳng dd song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P)(P), góc giữa chúng bằng 0∘0^{\circ}.

Oxzydd'

Góc giữa d và (P) là góc giữa d và hình chiếu d′ của nó

Góc giữa đường thẳng dd và mặt phẳng (P)(P) được định nghĩa là góc giữa dd và:

Mạch 2/4

Tính góc khi biết VTCP và VTPT

Cho đường thẳng dd có VTCP u⃗\vec u và mặt phẳng (P)(P) có VTPT n⃗\vec n. Gọi θ\theta là góc giữa dd và (P)(P). Ta có công thức tính sin⁡θ\sin\theta như sau: sin⁡θ=∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣∣n⃗∣\sin\theta = \dfrac{|\vec u \cdot \vec n|}{|\vec u| |\vec n|}. Lưu ý sử dụng sin⁡θ\sin\theta, không phải cos⁡θ\cos\theta.

Oxzydd'

Góc giữa d và (P) là góc giữa d và hình chiếu d′ của nó

Cho đường thẳng dd có VTCP u⃗=(1;2;−1)\vec u = (1; 2; -1) và mặt phẳng (P)(P) có VTPT n⃗=(2;−1;3)\vec n = (2; -1; 3). Tính sin⁡θ\sin\theta, với θ\theta là góc giữa dd và (P)(P)?

Mạch 3/4

Trường hợp đặc biệt

Nếu VTCP u⃗\vec u của đường thẳng dd và VTPT n⃗\vec n của mặt phẳng (P)(P) cùng phương (tức là u⃗=kn⃗\vec u = k\vec n với k≠0k \neq 0), thì đường thẳng dd vuông góc với mặt phẳng (P)(P), và góc giữa chúng bằng 90∘90^{\circ}. Ngược lại, nếu u⃗⋅n⃗=0\vec u \cdot \vec n = 0, thì dd song song hoặc nằm trong (P)(P), góc bằng 0∘0^{\circ}.

Khi nào góc giữa đường thẳng dd và mặt phẳng (P)(P) bằng 90∘90^{\circ}?

Mạch 4/4

Ví dụ: tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng dd có vectơ chỉ phương u⃗=(2;1;−2)\vec{u}=(2;1;-2) và mặt phẳng (P):x+2y+2z−5=0(P): x+2y+2z-5=0 có vectơ pháp tuyến n⃗=(1;2;2)\vec{n}=(1;2;2).

Bước 1. Tính tích vô hướng: u⃗⋅n⃗=2⋅1+1⋅2+(−2)⋅2=0\vec{u}\cdot\vec{n}=2\cdot1+1\cdot2+(-2)\cdot2=0.

Bước 2. Áp dụng sin⁡φ=∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣ ∣n⃗∣=03⋅3=0\sin\varphi=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}=\dfrac{0}{3\cdot3}=0.

Bước 3. Vậy φ=0∘\varphi=0^\circ — đường thẳng SONG SONG hoặc NẰM TRONG mặt phẳng.

⚠️ Nhớ dùng sin⁡\sin chứ không phải cos⁡\cos: n⃗\vec{n} vuông góc với mặt phẳng nên góc giữa u⃗\vec{u} và n⃗\vec{n} là góc PHỤ của góc cần tìm.

Oxzydd'

φ là góc giữa d và hình chiếu d′ của nó trên (P)

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

  • Góc = góc đt với hình chiếu của nó
  • sinθ = |u·n| / (|u||n|) (lưu ý sin, không phải cos)
  • u // n ⟺ đt vuông góc mp
  • u·n = 0 ⟺ đt // mp hoặc nằm trong
  • Khoảng giá trị: [0°; 90°]

Lỗi hay gặp

Lỗi hay gặp

  • Dùng cos thay vì sin
    Sửa: Đt-mp dùng sin = |u·n|/(|u||n|)
  • Quên trị tuyệt đối
    Sửa: |u·n| để góc luôn không âm

Quy trình

Quy trình giải

1

Tìm véctơ chỉ phương đường thẳng

Đường thẳng có véctơ chỉ phương u⃗; mặt phẳng có véctơ pháp tuyến n⃗.

→Xem lại: PT đường thẳng (KG)
2

Công thức góc giữa đt và mp

sinφ = |u⃗·n⃗|/(|u⃗||n⃗|) với φ∈[0°,90°]; đây là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

💡 Góc giữa đt và mp (không phải đt và véctơ pháp)

3

Tính tích vô hướng

u⃗·n⃗ = u_x·n_x + u_y·n_y + u_z·n_z; tính chính xác từng thành phần.

4

Tính độ dài véctơ

|u⃗| = √(u_x²+u_y²+u_z²); |n⃗| = √(n_x²+n_y²+n_z²).

→Xem lại: Véctơ trong không gian
5

Tính góc và kết luận

φ = arcsin(|u⃗·n⃗|/(|u⃗||n⃗|)); ghi kết quả ở dạng độ hoặc radian.

Ví dụ 1/5

Ví dụ 1 (TH): Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1 (TH): Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
L2
Tính góc giữa đường thẳng d:x=t, y=t, z=td: x=t,\,y=t,\,z=t và mặt phẳng (P):z=0(P): z=0.

Ví dụ 2/5

Ví dụ 2 (VD): Góc với mặt phẳng tổng quát

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2 (VD): Góc với mặt phẳng tổng quát
L3
Tính sin⁡\sin của góc giữa dd có VTCP u⃗=(2;1;−2)\vec{u}=(2;1;-2) và (P):x−2y+2z−1=0(P): x-2y+2z-1=0.

Ví dụ 3/5

Ví dụ 3

VÍ DỤ 3 · Ví dụ 3
L2
Đường thẳng dd có VTCP u⃗=(−3;−3;1)\vec{u}=(-3; -3; 1), mặt phẳng (P)(P) có VTPT n⃗=(2;−2;3)\vec{n}=(2; -2; 3). Giá trị sin⁡φ\sin\varphi (với φ\varphi là góc giữa dd và (P)(P)) bằng:

Ví dụ 4/5

Ví dụ 4

VÍ DỤ 4 · Ví dụ 4
L3
Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy là tam giác vuông tại AA với AB=9AB=9, AC=7AC=7, cạnh bên SASA vuông góc với đáy và SA=6SA=6 (xem hình). Góc giữa đường thẳng SCSC và mặt phẳng (ABC)(ABC) bằng (làm tròn đến độ):
ABCS

Chóp S.ABC, đáy vuông tại A, AB=9, AC=7, SA ⊥ đáy, SA=6

Ví dụ 5/5

Ví dụ 5

VÍ DỤ 5 · Ví dụ 5
L4
Tìm mm để đường thẳng dd có VTCP u⃗=(2;−2;m)\vec{u}=(2; -2; m) song song với mặt phẳng (P)(P) có VTPT n⃗=(3;−1;−1)\vec{n}=(3; -1; -1).

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dùng công thức sinφ=|u⃗·n⃗|/(|u⃗||n⃗|) để tính góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng.

  1. 1Tìm u⃗ (chỉ phương đt) và n⃗ (pháp tuyến mp)
  2. 2Tính tích vô hướng và độ dài
  3. 3sinφ=|u⃗·n⃗|/(|u⃗||n⃗|)

⚠️ Kết quả φ∈[0°;90°]; đt song song mp khi φ=0°

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Góc giữa đt và mp đo độ nghiêng quỹ đạo so với bề mặt.

Hàng không: Góc hạ cánh của máy bay so với đường băng
Xây dựng: Góc nghiêng cầu thang, đường dốc
Thể thao: Góc nhảy, góc ném tối ưu

Thú vị: Máy bay hạ cánh ở góc chuẩn ~3° so với đường băng — đúng là bài toán góc đt-mp ở mức quyết định an toàn!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Cho VTCP u⃗=(3;−2;−4)\vec{u}=(3; -2; -4) và VTPT n⃗=(−4;−1;−3)\vec{n}=(-4; -1; -3). Tích vô hướng u⃗⋅n⃗\vec{u}\cdot\vec{n} bằng:

2

Góc φ\varphi giữa đường thẳng dd (VTCP u⃗\vec{u}) và mặt phẳng (P)(P) (VTPT n⃗\vec{n}) được tính bởi:

3

Cho VTCP u⃗=(2;−3;−4)\vec{u}=(2; -3; -4) và VTPT n⃗=(−3;−3;−4)\vec{n}=(-3; -3; -4). Tích vô hướng u⃗⋅n⃗\vec{u}\cdot\vec{n} bằng:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)

Luyện tập