Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên một khoảng $(a;b)$ và điểm $x_0 \in (a;b)$.

Nếu tồn tại một khoảng $(x_0-\delta; x_0+\delta) \subset (a;b)$ sao cho $f(x) < f(x_0)$ với mọi $x \in (x_0-\delta; x_0+\delta) \setminus \{x_0\}$, thì $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f$ tại $x_0$.

Nếu tồn tại một khoảng $(x_0-\delta; x_0+\delta) \subset (a;b)$ sao cho $f(x) > f(x_0)$ với mọi $x \in (x_0-\delta; x_0+\delta) \setminus \{x_0\}$, thì $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f$ tại $x_0$.

Điểm $x_0$ được gọi là điểm cực đại, điểm cực tiểu.

Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_0$ và $x_0$ là điểm cực trị của hàm số thì $f'(x_0)=0$.

Tuy nhiên, điều kiện $f'(x_0)=0$ chưa đủ để khẳng định $x_0$ là điểm cực trị.

Điều kiện cần và đủ để hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_0$ là đạo hàm $f'(x)$ phải đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0$.

• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ + sang − thì $x_0$ là điểm cực đại.

• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ − sang + thì $x_0$ là điểm cực tiểu.

Để tìm cực trị của hàm số $y=f(x)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm $f'(x)$.

Bước 3: Giải phương trình $f'(x)=0$ tìm các nghiệm. Gọi các nghiệm này là $x_1, x_2, \dots$ (gọi là các điểm tới hạn).

Bước 4: Lập bảng biến thiên để xét dấu của $f'(x)$ trên khoảng xác định.

Bước 5: Dựa vào bảng biến thiên, xác định các điểm cực trị dựa trên sự đổi dấu của $f'(x)$.

Tìm cực trị của hàm số $y=x^3-3x+1$.

Bước 1: Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Bước 2: Tính đạo hàm $y' = 3x^2-3$.

Bước 3: Giải

$y'=0$

$\Rightarrow 3x^2-3=0$

$\Rightarrow x^2=1$

$\Rightarrow x=1$

hoặc $x=-1$.

Bước 4: Lập bảng biến thiên:

$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & -1 & 1 & +\infty \\ \hline y' & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline y & & & & & \\ & -\infty & & & & +\infty \\ & & \mathbf{C D} & & \mathbf{C T} & \\ & & \mathbf{y=3} & & \mathbf{y=-1} & \end{array}$

Bước 5: Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$, $y_{CD}=3$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, $y_{CT}=-1$.