MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/5

Khái niệm Dây và Cung đường tròn

Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ là tập hợp các điểm cách $O$ một khoảng $R$ . Dây của đường tròn là đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn. Ví dụ, $AB$ là một dây nếu $A, B$ thuộc đường tròn. Cung của đường tròn là một phần của đường tròn bị giới hạn bởi hai điểm trên đường tròn. Hai điểm $A, B$ chia đường tròn thành hai cung: cung nhỏ và cung lớn. Dây $AB$ căng cung nhỏ $AB$ .

Đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn được gọi là gì?

Mạch 2/5

Quan hệ giữa Dây và Khoảng cách từ tâm

Trong một đường tròn, khoảng cách từ tâm đến một dây là độ dài đoạn thẳng hạ vuông góc từ tâm xuống dây đó. Có một mối liên hệ quan trọng: hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, và ngược lại, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Điều này giúp so sánh độ dài các dây dựa trên vị trí của chúng đối với tâm.

Trong một đường tròn, nếu hai dây cách đều tâm thì sao?

Mạch 3/5

Quan hệ giữa Dây và Cung

Mối quan hệ giữa dây và cung mà nó căng là rất chặt chẽ. Hai dây bằng nhau sẽ căng hai cung bằng nhau. Ngược lại, nếu hai cung bằng nhau thì chúng cũng bị căng bởi hai dây bằng nhau. Điều này cho phép chúng ta suy ra tính chất của dây nếu biết về cung, hoặc ngược lại.

Nếu hai dây $AB$ và $CD$ của cùng một đường tròn bằng nhau, thì hai cung $AB$ và $CD$ có quan hệ gì?

Mạch 4/5

Tính chất Đường kính và Dây

Một tính chất quan trọng liên quan đến đường kính và dây: nếu đường kính vuông góc với một dây, nó sẽ đi qua trung điểm của dây đó và chia cung bị căng bởi dây thành hai cung bằng nhau. Ngược lại, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không phải đường kính) thì vuông góc với dây đó.

Đường kính vuông góc với một dây thì có tính chất gì?

Mạch 5/5

Số đo Cung và Góc ở tâm

Số đo của một cung được xác định bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Cụ thể, hai cung bằng nhau thì có số đo góc ở tâm tương ứng bằng nhau, và ngược lại, hai góc ở tâm bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau. Ví dụ, cung $AB$ có số đo bằng số đo $\angle AOB$ .

Số đo của một cung đường tròn được xác định bằng số đo của loại góc nào?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Dây là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn, cung là phần đường tròn giữa hai điểm đó.
Dây càng lớn thì càng gần tâm; hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và căng hai cung bằng nhau.
Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây và chia đôi cung bị căng.
Số đo cung bằng số đo góc ở tâm căng cung đó.

Lỗi hay gặp

Nhầm lẫn giữa dây và cung: Dây là đoạn thẳng, cung là một phần đường tròn. Ví dụ, gọi $AB$ là cung thay vì dây $AB$ .
Sửa: Luôn nhớ định nghĩa: dây là đoạn thẳng, cung là đường cong. Khi nói về độ dài, thường là dây; khi nói về số đo góc, thường là cung.
Áp dụng sai định lí về quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm: Cho rằng dây lớn hơn thì khoảng cách từ tâm đến dây lớn hơn.
Sửa: Ghi nhớ định lí: dây càng lớn thì khoảng cách từ tâm đến dây càng nhỏ. Dây lớn nhất là đường kính, khoảng cách từ tâm đến nó bằng 0.
Quên điều kiện 'không phải đường kính' khi áp dụng định lí đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây.
Sửa: Đường kính luôn đi qua trung điểm của chính nó. Định lí chỉ áp dụng cho dây không phải đường kính để khẳng định sự vuông góc.

Quy trình

Quy trình giải

1

Đọc và hiểu đề

Đọc kỹ đề bài, xác định các yếu tố đã cho (bán kính $R$ , độ dài dây, khoảng cách từ tâm, số đo cung, góc ở tâm) và yêu cầu của bài toán.

2

Vẽ hình minh họa

Vẽ hình rõ ràng, chính xác các điểm, dây, cung, tâm và bán kính. Kí hiệu các yếu tố đã biết lên hình vẽ.

💡 Sử dụng compa và thước để hình vẽ trực quan và dễ nhìn.

3

Xác định định lí liên quan

Dựa vào các yếu tố đã cho và yêu cầu, xác định các định lí về cung và dây phù hợp để áp dụng. Ví dụ: định lí Pytago nếu có tam giác vuông, định lí quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm.

→Xem lại: Đường tròn và các yếu tố

4

Thiết lập phương trình/quan hệ

Sử dụng các định lí đã chọn để thiết lập các mối quan hệ toán học (phương trình, bất đẳng thức) giữa các đại lượng cần tìm và đại lượng đã biết.

→Xem lại: Hệ thức lượng trong tam giác

5

Giải bài toán

Giải các phương trình hoặc bất đẳng thức đã thiết lập để tìm ra kết quả cuối cùng. Kiểm tra lại kết quả có hợp lí với hình vẽ và các điều kiện của bài toán không.

Ví dụ 1/2

So sánh độ dài dây cung

VÍ DỤ 1 · So sánh độ dài dây cung

L2

Cho đường tròn

(O; R)

có hai dây

AB

và

CD

. Khoảng cách từ tâm

O

đến dây

AB

là

3 \text{ cm}

và đến dây

CD

là

4 \text{ cm}

. So sánh độ dài hai dây

AB

và

CD

.

Ví dụ 2/2

Tính độ dài dây cung

VÍ DỤ 2 · Tính độ dài dây cung

L3

Cho đường tròn

(O; 5 \text{ cm})

. Dây

AB

có khoảng cách từ tâm

O

đến dây là

3 \text{ cm}

. Tính độ dài dây

AB

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dạng bài tập yêu cầu so sánh độ dài các dây hoặc số đo các cung dựa trên khoảng cách từ tâm hoặc các yếu tố khác.

1Xác định thông tin đã cho.
2Áp dụng định lí quan hệ dây-khoảng cách hoặc dây-cung.
3Rút ra kết luận so sánh.

⚠️ Dây càng gần tâm thì càng dài. Cung bằng nhau thì dây căng cung đó bằng nhau.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Các khái niệm về cung và dây được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật và thiết kế, từ kiến trúc đến cơ khí.

Kiến trúc và Xây dựng: Thiết kế các mái vòm, cầu cong, hoặc cửa sổ hình bán nguyệt, nơi các dây cung và cung tròn tạo nên kết cấu chịu lực và thẩm mỹ.

Cơ khí và Chế tạo: Chế tạo bánh răng, vòng bi, hoặc các bộ phận máy móc có hình dạng tròn, yêu cầu độ chính xác cao về đường kính (dây lớn nhất) và các cung tròn.

Thú vị: Các nhà toán học Hy Lạp cổ đại như Euclid và Archimedes đã nghiên cứu rất sâu về cung và dây của đường tròn, đặt nền móng cho hình học phẳng hiện đại.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Một góc ở tâm của đường tròn có số đo 112°. Tính số đo cung bị chắn bởi góc ở tâm đó.

2

Một góc ở tâm của đường tròn có số đo 66°. Tính số đo cung bị chắn bởi góc ở tâm đó.

3

Một góc ở tâm của đường tròn có số đo 70°. Tính số đo cung bị chắn bởi góc ở tâm đó.

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)