MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Thể tích vật thể

Xét một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x=a$ và $x=b$ . Nếu thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có tọa độ $x$ ( $a \le x \le b$ ) có diện tích là $S(x)$ , thì thể tích $V$ của vật thể được tính bằng công thức tích phân: $V = \int_{a}^{b} S(x) dx$

Quay hình phẳng quanh Ox: V = π∫f²(x)dx

Công thức tính thể tích vật thể dựa trên diện tích thiết diện $S(x)$ là:

Mạch 2/4

Khối tròn xoay quanh trục Ox

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ , trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a, x=b$ ( $f(x) \ge 0$ ) quanh trục $Ox$ , ta được một khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay này được tính bằng công thức: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

Quay hình phẳng quanh Ox: V = π∫f²(x)dx

Thể tích khối tròn xoay tạo bởi việc quay $y=f(x) \ge 0$ trên $[a;b]$ quanh trục $Ox$ là:

Mạch 3/4

Khối tròn xoay quanh trục Oy

Tương tự, khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $x=g(y)$ , trục $Oy$ và hai đường thẳng $y=c, y=d$ ( $g(y) \ge 0$ ) quanh trục $Oy$ , ta được khối tròn xoay. Thể tích $V$ được tính bằng công thức: $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 dy$

Quay quanh Oy: đổi vai trò hai trục, V = π∫g²(y)dy

Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục $Oy$ với $x=g(y) \ge 0$ trên $[c;d]$ là:

Mạch 4/4

Khối tròn xoay giữa hai đường cong quanh Ox

Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên $[a;b]$ với $f(x) \ge g(x) \ge 0$ . Khối tròn xoay tạo bởi việc quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số này và hai đường thẳng $x=a, x=b$ quanh trục $Ox$ có thể tích là: $V = \pi \int_{a}^{b} |[f(x)]^2 - [g(x)]^2| dx$

Diện tích giữa hai đường: S = ∫(đường trên − đường dưới) dx

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$ và $y=g(x)$ ( $f(x) \ge g(x) \ge 0$ ) trên $[a;b]$ quanh trục $Ox$ , thể tích khối tròn xoay là:

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

V = ∫S(x)dx (S là diện tích thiết diện)
Quanh Ox: V = π∫f²dx
Quanh Oy: V = π∫g²(y)dy
Giữa 2 đường quanh Ox: V = π∫|f²-g²|dx
Nhớ π và bình phương

Lỗi hay gặp

Quên π trong công thức tròn xoay
Sửa: Luôn nhân π khi quay quanh trục
Quên bình phương f
Sửa: Diện tích đáy đĩa = πf²

Quy trình

Quy trình giải

1

Nhận dạng hình khối

Lăng trụ, hình chóp, hình cầu, hình trụ, hình nón; nhận dạng từ mô tả hoặc hình vẽ.

2

Công thức thể tích các khối

Lăng trụ: V=S·h; Chóp: V=(1/3)S·h; Cầu: V=(4/3)πR³; Trụ: V=πR²h; Nón: V=(1/3)πR²h.

💡 Chóp và nón đều nhân 1/3

→Xem lại: Thể tích khối đa diện (L11)

3

Tính diện tích đáy

Tính S_đáy phù hợp: tam giác (S=ah/2), hình vuông (S=a²), hình tròn (S=πR²),...

4

Xác định chiều cao

Chiều cao h là khoảng cách vuông góc giữa hai đáy (lăng trụ) hoặc từ đỉnh đến đáy (chóp).

5

Tính và kiểm tra đơn vị

Tính kết quả chính xác; kiểm tra đơn vị (cm³, m³); ước lượng kết quả hợp lý không.

Ví dụ 1/5

Ví dụ 1 (TH): Thể tích khối tròn xoay quanh Ox

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1 (TH): Thể tích khối tròn xoay quanh Ox

L2

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi

y=\sqrt{x}

, trục

Ox

,

x=0

,

x=4

quanh trục

Ox

.

Ví dụ 2/5

Ví dụ 2 (VD): Thể tích quanh Ox giữa hai cận

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2 (VD): Thể tích quanh Ox giữa hai cận

L3

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi

y=x^{2}

,

Ox

,

x=1

,

x=2

quanh

Ox

.

Ví dụ 3/5

Ví dụ 3

VÍ DỤ 3 · Ví dụ 3

L2

Cho khối lăng trụ đứng

ABC.A'B'C'

có đáy là tam giác vuông tại

A

với

AB=5

,

AC=5

và chiều cao

AA'=6

(xem hình). Thể tích khối lăng trụ bằng:

Lăng trụ đứng ABC.A'B'C', đáy vuông tại A, AB=5, AC=5, AA'=6

Ví dụ 4/5

Ví dụ 4

VÍ DỤ 4 · Ví dụ 4

L3

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

y=\sqrt{x + 6}

, trục

Ox

và hai đường

x=0

,

x=6

. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình đó quanh trục

Ox

bằng:

Ví dụ 5/5

Ví dụ 5

VÍ DỤ 5 · Ví dụ 5

L4

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

y=x^2\sqrt{x}

, trục

Ox

và hai đường

x=0

,

x=5

. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình đó quanh trục

Ox

bằng:

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Áp dụng công thức thể tích phù hợp cho lăng trụ, hình chóp, hình tứ diện.

1Nhận dạng hình khối
2Tính S_đáy và chiều cao h
3Áp dụng công thức V

⚠️ Với hình chóp đều, chiều cao qua trọng tâm đáy

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Thể tích khối tròn xoay tính chính xác qua tích phân, áp dụng cho mọi vật xoay quanh trục.

Sản xuất: Tính thể tích chai, lọ, bình hoa, trục máy tiện

Kỹ thuật: Khối lượng chi tiết máy đối xứng trục

Ẩm thực: Tính dung tích ly, cốc có dạng tròn xoay

Thú vị: Mọi vật trên bàn xoay của thợ gốm đều là khối tròn xoay — và thể tích được tính bằng tích phân quay quanh trục!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=\sqrt{8x}$ , trục $Ox$ và hai đường $x=0$ , $x=2$ . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình đó quanh trục $Ox$ bằng:

2

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=\sqrt{6x}$ , trục $Ox$ và hai đường $x=0$ , $x=6$ . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình đó quanh trục $Ox$ bằng:

3

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=\sqrt{1x}$ , trục $Ox$ và hai đường $x=0$ , $x=7$ . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình đó quanh trục $Ox$ bằng:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)