Trên một đoạn đóng $[a;b]$, hàm số $f(x)$ liên tục luôn đạt được Giá trị Lớn nhất (GTLN) và Giá trị Nhỏ nhất (GTNN). Các giá trị này xảy ra tại các điểm tới hạn (nơi đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định) bên trong khoảng $(a;b)$, hoặc tại hai đầu mút $a$ và $b$. Để tìm chúng, ta tính $f(x)$ tại tất cả các điểm này rồi so sánh các giá trị thu được.

Khi xét GTLN, GTNN trên khoảng mở hoặc nửa khoảng, ta không có hai đầu mút cố định. Phương pháp phổ biến là lập bảng biến thiên. Bảng này cho thấy sự biến thiên của hàm số, bao gồm cả giới hạn của hàm số tại các đầu mút của khoảng (nếu có) và tại vô cực. Từ bảng biến thiên, ta có thể xác định xem hàm số có đạt GTLN hoặc GTNN hay không.

Tìm GTLN, GTNN của hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 1$ trên đoạn $[0;3]$.

Bước 1: Tìm đạo hàm. $f'(x) = 3x^2 - 3$ Bước 2: Tìm các điểm tới hạn.

$f'(x) = 0$

$\Rightarrow 3x^2 - 3 = 0$

$\Rightarrow x^2 = 1$

$\Rightarrow x = \pm 1$

Chỉ lấy $x=1$ vì $1 \in (0;3)$.

Bước 3: Tính giá trị hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút. $f(0) = 1$ $f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1$ $f(3) = 3^3 - 3(3) + 1 = 27 - 9 + 1 = 19$

Bước 4: So sánh các giá trị. Ta có: $f(1) = -1$, $f(0) = 1$, $f(3) = 19$. Vậy GTLN là $19$ (tại $x=3$) và GTNN là $-1$ (tại $x=1$).