ThoátLý thuyếtGóc giữa hai mặt phẳng Công cụ
1/11

Trang 1: Định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng

Mạch 1/3

Định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nói cách khác, góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến (VTPT) của chúng. Giá trị góc này luôn nằm trong khoảng từ 0∘0^{\circ} đến 90∘90^{\circ}.

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng như thế nào?

Mạch 2/3

Tính góc dựa vào VTPT

Để tính góc θ\theta giữa hai mặt phẳng (P1)(P_1) và (P2)(P_2) với hai VTPT lần lượt là n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2}, ta sử dụng công thức: cos⁡θ=∣n1⃗⋅n2⃗∣∣n1⃗∣∣n2⃗∣\cos\theta = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}. Việc sử dụng giá trị tuyệt đối ở tử số đảm bảo góc θ\theta luôn thuộc đoạn [0∘;90∘][0^{\circ}; 90^{\circ}].

Công thức tính góc θ\theta giữa hai mặt phẳng với VTPT n1⃗,n2⃗\vec{n_1}, \vec{n_2} là gì?

Mạch 3/3

Trường hợp đặc biệt

Hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi hai VTPT của chúng cùng phương. Trong trường hợp này, góc giữa hai mặt phẳng là 0∘0^{\circ}. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, thì hai VTPT của chúng vuông góc, tức là tích vô hướng n1⃗⋅n2⃗=0\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng là 90∘90^{\circ}.

Nếu hai mặt phẳng (P1)(P_1) và (P2)(P_2) có VTPT n1⃗\vec{n_1} và n2⃗\vec{n_2} thỏa mãn n1⃗⋅n2⃗=0\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0, thì góc giữa hai mặt phẳng là bao nhiêu?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

  • Góc = góc VTPT trong [0;90°]
  • cosθ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|)
  • VTPT vuông góc ⟺ 2 mp vuông góc
  • VTPT cùng phương ⟺ 2 mp song song
  • Dùng trị tuyệt đối để góc ≤ 90°

Lỗi hay gặp

Lỗi hay gặp

  • Quên trị tuyệt đối → góc tù
    Sửa: Lấy |n₁·n₂| để góc trong [0;90°]
  • Nhầm góc 2 mp với góc đt-mp
    Sửa: Góc 2 mp dùng cos, góc đt-mp dùng sin

Quy trình

Quy trình giải

1

Tìm véctơ pháp tuyến hai mặt phẳng

Mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 có ⃗n₁=(A,B,C); tương tự cho (Q) có ⃗n₂.

→Xem lại: Phương trình mặt phẳng
2

Công thức góc giữa hai mặt phẳng

cosθ = |⃗n₁·⃗n₂|/(|⃗n₁||⃗n₂|) với θ∈[0°,90°]; góc nhị diện là góc giữa hai mặt phẳng.

💡 Lấy giá trị tuyệt đối để góc thuộc [0°;90°]

→Xem lại: Phương trình mặt phẳng
3

Tính tích vô hướng ⃗n₁·⃗n₂

⃗n₁·⃗n₂ = A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂; tính cẩn thận từng tích.

4

Tính và kết luận

cosθ = |tích vô hướng|/(tích độ dài); suy ra θ = arccos(giá trị).

5

Trường hợp đặc biệt

Hai mp song song: ⃗n₁//⃗n₂ (tỉ số tọa độ bằng nhau); hai mp vuông góc: ⃗n₁·⃗n₂=0.

Ví dụ 1/2

Ví dụ 1 (TH): Góc giữa hai mặt phẳng

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1 (TH): Góc giữa hai mặt phẳng
L2
Tính góc giữa hai mặt phẳng (P):x+y+z−1=0(P): x+y+z-1=0 và (Q):x−y+2z=0(Q): x-y+2z=0.

Ví dụ 2/2

Ví dụ 2 (VD): Hai mặt phẳng vuông góc

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2 (VD): Hai mặt phẳng vuông góc
L3
Tìm mm để hai mặt phẳng (P):x+my+z=0(P): x+my+z=0 và (Q):2x−y+z−3=0(Q): 2x-y+z-3=0 vuông góc.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dùng véctơ pháp tuyến để tính góc giữa hai mặt phẳng theo công thức cosθ.

  1. 1Đọc ⃗n₁ và ⃗n₂ từ phương trình mp
  2. 2Tính ⃗n₁·⃗n₂, |⃗n₁|, |⃗n₂|
  3. 3cosθ=|⃗n₁·⃗n₂|/(|⃗n₁||⃗n₂|)

⚠️ Kết quả θ∈[0°;90°]; hai mp vuông góc khi cosθ=0

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Góc giữa 2 mặt phẳng đo độ "mở" giữa các bề mặt.

Kiến trúc: Góc mái, góc giữa các mặt tường
Cơ khí: Góc giữa các bề mặt khi lắp ghép
Địa chất: Góc nghiêng của các tầng đá

Thú vị: Góc nghiêng pin mặt trời là bài toán góc giữa 2 mp — đặt đúng góc tăng hiệu suất điện đáng kể!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Góc giữa hai mặt phẳng được xác định qua

2

Cho hai VTPT n1⃗=(−2;4;1)\vec{n_1}=(-2; 4; 1), n2⃗=(3;3;4)\vec{n_2}=(3; 3; 4). Tích vô hướng n1⃗⋅n2⃗\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} bằng:

3

Cho hai VTPT n1⃗=(−2;4;1)\vec{n_1}=(-2; 4; 1), n2⃗=(1;4;2)\vec{n_2}=(1; 4; 2). Tích vô hướng n1⃗⋅n2⃗\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} bằng:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)

Luyện tập