MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x) \ge 0$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$

Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ (với $f(x) \ge 0$ trên đoạn $[a;b]$ ), trục hoành $y=0$ và hai đường thẳng đứng $x=a, x=b$ . Diện tích $S$ của hình phẳng này được tính bằng tích phân xác định của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ : $S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = \cos(x) \ge 0$ trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$ và trục hoành được tính bằng công thức nào?

Mạch 2/4

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$ và trục hoành

Khi hàm số $y=f(x)$ có thể âm trên đoạn $[a;b]$ , diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ , trục hoành $y=0$ , và hai đường thẳng $x=a, x=b$ được tính bằng tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số: $S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2 - 1$ và trục hoành trên đoạn $[-2; 2]$ , ta cần tính tích phân nào?

Mạch 3/4

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y=f(x)$ và $y=g(x)$

Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ , trong đó $a$ và $b$ là hoành độ các giao điểm của hai đồ thị. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị này được tính bằng tích phân của hiệu $|f(x) - g(x)|$ trên đoạn $[a;b]$ : $S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=x^2$ và $y=x$ được tính bằng công thức nào sau khi tìm được hoành độ giao điểm là $x=0$ và $x=1$ ?

Mạch 4/4

Quy trình tính diện tích hình phẳng

Để tính diện tích hình phẳng, ta thực hiện các bước sau:

Tìm hoành độ các giao điểm của các đường cong giới hạn bằng cách giải phương trình $f(x)=g(x)$ .
Xác định "đường nào ở trên, đường nào ở dưới" trong từng khoảng giữa các giao điểm (có thể dùng cách thử một điểm hoặc vẽ đồ thị phác thảo).
Lập công thức tích phân dựa trên các khoảng và hàm số nào ở trên/dưới, sau đó tính tích phân.

Bước đầu tiên để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=x^2$ và $y=2x$ là gì?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

S dưới y=f(x)≥0: tích phân f từ a tới b
S tổng quát: tích phân |f|
Giữa 2 đường: tích phân |f-g|
Cận = hoành độ giao điểm
Vẽ phác đồ thị để biết đường nào trên

Lỗi hay gặp

Quên trị tuyệt đối khi f đổi dấu
Sửa: Cắt tích phân tại nghiệm f=0, dùng |f|
Sai cận tích phân
Sửa: Cận = nghiệm phương trình giao điểm

Quy trình

Quy trình giải

1

Xác định hình phẳng cần tính

Vẽ phác thảo vùng giới hạn bởi các đường cong; xác định hàm trên và hàm dưới.

2

Tìm giao điểm

Giải phương trình f(x)=g(x) để tìm điểm giao; đây là giới hạn tích phân.

💡 Kiểm tra kỹ nghiệm phương trình, có thể có nhiều điểm giao

3

Chia khoảng nếu cần

Nếu f và g đổi chỗ nhau trên [a,b], chia thành các khoảng và tính từng phần.

4

Tính tích phân diện tích

S = ∫_a^b |f(x)−g(x)| dx = ∫_a^b (f(x)−g(x)) dx khi f≥g.

→Xem lại: Tích phân xác định

5

Tính và kiểm tra kết quả

Kết quả diện tích luôn dương; kiểm tra đơn vị; ước lượng sơ bộ từ đồ thị.

Ví dụ 1/2

Ví dụ 1 (TH): Diện tích giữa hai đường

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1 (TH): Diện tích giữa hai đường

L2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y=x^{2}

và

y=x

.

Ví dụ 2/2

Ví dụ 2 (VD): Diện tích với trục hoành

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2 (VD): Diện tích với trục hoành

L3

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y=x^{2}-4

và trục

Ox

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Tính diện tích hình phẳng giữa y=f(x) và y=g(x) trên khoảng [a,b].

1Tìm giao điểm x₁,x₂ từ f(x)=g(x)
2Xác định hàm nào lớn hơn trên (x₁,x₂)
3Tính S=∫_{x₁}^{x₂}(f-g)dx

⚠️ Vẽ đồ thị để tránh nhầm hàm trên/dưới

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Tích phân giúp đo diện tích vùng có biên cong, không thể tính bằng công thức hình học thông thường.

Địa lý: Tính diện tích vùng đất, hồ có biên cong

Kinh tế: Diện tích giữa hai đường (lợi nhuận tích lũy chênh lệch)

Thiết kế: Diện tích bề mặt logo, hình trang trí cong

Thú vị: Diện tích thửa ruộng, khu rừng có ranh giới cong trên bản đồ số được máy tính tính bằng tích phân — chính xác tới từng mét vuông!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$ , trục $Ox$ , $x=a,x=b$ tính bằng

2

Diện tích giữa hai đường $y=f(x)$ và $y=g(x)$ trên $[a;b]$ là

3

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=x^2$ , trục $Ox$ và hai đường $x=0$ , $x=3$ bằng:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)