MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Khái niệm cơ bản

Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; r)$ với bán kính lần lượt là $R$ và $r$ . Gọi $d$ là khoảng cách giữa hai tâm $O$ và $O'$ , tức là $d = OO'$ . Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, chúng ta cần so sánh giá trị $d$ với tổng $R+r$ và hiệu $|R-r|$ của hai bán kính.

Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; r)$ . Ký hiệu $d$ là khoảng cách giữa hai tâm. Giá trị nào sau đây là cần thiết để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn?

Mạch 2/4

Hai đường tròn cắt nhau

Hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; r)$ được gọi là cắt nhau nếu chúng có hai điểm chung phân biệt. Điều kiện để hai đường tròn cắt nhau là khoảng cách giữa hai tâm $d$ phải lớn hơn hiệu bán kính và nhỏ hơn tổng bán kính. Cụ thể, điều kiện là $|R-r| < d < R+r$ . Trong trường hợp này, đường thẳng nối tâm $OO'$ là đường trung trực của dây chung.

Hai đường tròn $(O; 5)$ và $(O'; 3)$ có khoảng cách giữa hai tâm là $d=6$ . Vị trí tương đối của hai đường tròn này là gì?

Mạch 3/4

Hai đường tròn tiếp xúc

Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi chúng có đúng một điểm chung. Có hai trường hợp tiếp xúc: tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong. Tiếp xúc ngoài xảy ra khi $d = R+r$ . Tiếp xúc trong xảy ra khi $d = |R-r|$ . Trong cả hai trường hợp, điểm tiếp xúc đều nằm trên đường thẳng nối tâm $OO'$ .

Cho hai đường tròn $(O; 7)$ và $(O'; 4)$ . Nếu khoảng cách giữa hai tâm là $d=3$ , hai đường tròn này ở vị trí nào?

Mạch 4/4

Hai đường tròn không giao nhau

Hai đường tròn không giao nhau nếu chúng không có điểm chung. Trường hợp này xảy ra khi $d > R+r$ (hai đường tròn ở ngoài nhau) hoặc $d < |R-r|$ (một đường tròn nằm trong đường tròn kia). Nếu $d=0$ , hai đường tròn đồng tâm.

Hai đường tròn $(O; 6)$ và $(O'; 2)$ có khoảng cách giữa hai tâm là $d=10$ . Vị trí tương đối của chúng là gì?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Khoảng cách giữa hai tâm là $d = OO'$ .
Hai đường tròn cắt nhau khi $|R-r| < d < R+r$ .
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi $d = R+r$ .
Hai đường tròn tiếp xúc trong khi $d = |R-r|$ .
Hai đường tròn ngoài nhau khi $d > R+r$ và trong nhau khi $d < |R-r|$ .

Lỗi hay gặp

Nhầm lẫn giữa điều kiện tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài, hoặc giữa cắt nhau và trong/ngoài nhau.
Sửa: Luôn ghi nhớ và so sánh $d$ với $R+r$ và $|R-r|$ một cách cẩn thận. Vẽ hình minh họa để dễ hình dung từng trường hợp.
Tính toán sai khoảng cách $d$ hoặc hiệu $|R-r|$ .
Sửa: Đảm bảo tính toán chính xác $d = OO'$ và $|R-r|$ . Đặc biệt lưu ý khi tính hiệu, luôn lấy giá trị tuyệt đối hoặc lấy bán kính lớn trừ bán kính nhỏ.
Bỏ qua trường hợp đồng tâm ( $d=0$ ) khi xác định vị trí tương đối.
Sửa: Luôn kiểm tra trường hợp $d=0$ (hai tâm trùng nhau) trước khi so sánh với $R+r$ và $|R-r|$ để tránh thiếu sót.

Quy trình

Quy trình giải

1

Xác định thông số

Nhận diện tâm $O, O'$ , bán kính $R, r$ và khoảng cách giữa hai tâm $d = OO'$ từ đề bài hoặc hình vẽ.

💡 Đảm bảo các đơn vị đo của $R, r, d$ là nhất quán.

→Xem lại: Đường tròn

2

Tính tổng và hiệu

Tính tổng hai bán kính $R+r$ và hiệu tuyệt đối $|R-r|$ .

💡 Luôn lấy giá trị tuyệt đối cho hiệu để tránh nhầm lẫn.

3

So sánh khoảng cách

So sánh khoảng cách $d$ với $R+r$ và $|R-r|$ theo thứ tự logic.

💡 Bắt đầu bằng việc kiểm tra $d=0$ (đồng tâm), sau đó so sánh với $R+r$ và $|R-r|$ .

4

Kết luận vị trí

Dựa vào kết quả so sánh để kết luận chính xác vị trí tương đối của hai đường tròn theo các điều kiện đã học.

💡 Kiểm tra lại các điều kiện một lần nữa để đảm bảo không có sai sót.

5

Vẽ hình minh họa

Vẽ hình minh họa (nếu cần) để kiểm tra trực quan kết quả và củng cố sự hiểu biết.

💡 Một hình vẽ rõ ràng giúp dễ dàng phát hiện lỗi sai hoặc hiểu sâu hơn về mối quan hệ hình học.

Ví dụ 1/3

Xác định vị trí tương đối cơ bản

VÍ DỤ 1 · Xác định vị trí tương đối cơ bản

L2

Cho hai đường tròn

(O; 5cm)

và

(O'; 3cm)

. Biết khoảng cách giữa hai tâm là

OO' = 8cm

. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn này.

Ví dụ 2/3

Tìm bán kính để tiếp xúc

VÍ DỤ 2 · Tìm bán kính để tiếp xúc

L3

Cho đường tròn

(O; R)

và

(O'; 4cm)

. Khoảng cách giữa hai tâm là

OO' = 10cm

. Tìm bán kính

R

của đường tròn

(O)

để hai đường tròn tiếp xúc với nhau.

Ví dụ 3/3

Phân loại vị trí tương đối

VÍ DỤ 3 · Phân loại vị trí tương đối

L2

Cho hai đường tròn

(O; R)

và

(O'; r)

với

R = 7cm

,

r = 3cm

. Gọi

d

là khoảng cách

OO'

. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong các trường hợp sau: a)

d=12cm

; b)

d=4cm

; c)

d=8cm

; d)

d=2cm

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dạng bài tập cho trước bán kính và khoảng cách tâm, yêu cầu xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

1Tìm $R, r, d$
2Tính $R+r, |R-r|$
3So sánh $d$ với $R+r, |R-r|$
4Kết luận vị trí tương đối

⚠️ Luôn vẽ hình nháp để hình dung các trường hợp và kiểm tra kết quả.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Vị trí tương đối của hai đường tròn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực kỹ thuật, thiết kế và khoa học, giúp chúng ta hiểu và mô tả các mối quan hệ không gian.

Cơ khí: Thiết kế các hệ thống bánh răng, nơi các bánh răng phải tiếp xúc ngoài với nhau để truyền động một cách hiệu quả và trơn tru.

Thiên văn học: Mô tả quỹ đạo của các thiên thể (ví dụ: vệ tinh, hành tinh) để xác định liệu chúng có cắt nhau, tiếp xúc hay chỉ đi qua nhau ở một khoảng cách an toàn.

Kiến trúc và xây dựng: Bố trí các cấu trúc hình tròn như cột, bồn chứa, hoặc các chi tiết trang trí sao cho chúng không chồng lấn không mong muốn hoặc tạo ra các điểm tiếp xúc theo yêu cầu thiết kế.

Thú vị: Khái niệm về đường tròn và các tính chất của nó đã được nghiên cứu từ thời Hy Lạp cổ đại, với những đóng góp quan trọng từ các nhà toán học như Euclid và Archimedes, đặt nền móng cho hình học hiện đại.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Hai đường tròn $(O; 6$ cm $)$ và $(O'; 5$ cm $)$ có khoảng cách giữa hai tâm $OO' = 13$ cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

2

Hai đường tròn $(O; 12$ cm $)$ và $(O'; 10$ cm $)$ có khoảng cách giữa hai tâm $OO' = 25$ cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

3

Hai đường tròn $(O; 8$ cm $)$ và $(O'; 6$ cm $)$ có khoảng cách giữa hai tâm $OO' = 20$ cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)