MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Đường Tròn Ngoại Tiếp Tam Giác

Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh tam giác, ký hiệu là $O$ . Bán kính đường tròn ngoại tiếp, ký hiệu là $R$ , có thể tính bằng công thức $R = \frac{abc}{4S}$ , với $a, b, c$ là độ dài ba cạnh và $S$ là diện tích tam giác.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường nào?

Mạch 2/4

Bán Kính Đường Tròn Ngoại Tiếp

Đối với tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh là $a, b, c$ và diện tích là $S$ , bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ được tính bằng công thức $R = \frac{abc}{4S}$ . Trong trường hợp tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa độ dài cạnh huyền.

Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh lần lượt là $3, 4, 5$ và diện tích là $6$ . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác này là bao nhiêu?

Mạch 3/4

Đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác

Đường tròn nội tiếp một tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong của ba góc, ký hiệu là $I$ . Bán kính đường tròn nội tiếp, ký hiệu là $r$ , có thể tính bằng công thức $r = \frac{S}{p}$ , với $S$ là diện tích và $p$ là nửa chu vi của tam giác.

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường nào?

Mạch 4/4

Bán Kính Đường Tròn Nội Tiếp

Bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác $ABC$ với diện tích $S$ và nửa chu vi $p = \frac{a+b+c}{2}$ được tính bằng công thức $r = \frac{S}{p}$ . Đối với tam giác vuông có cạnh huyền $c$ , bán kính nội tiếp còn được tính bằng $r = \frac{a+b-c}{2}$ .

Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh là $3, 4, 5$ . Nửa chu vi của tam giác này là bao nhiêu?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.
Mọi tam giác đều có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp và duy nhất một đường tròn nội tiếp.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \frac{abc}{4S}$ , với $a,b,c$ là độ dài các cạnh và $S$ là diện tích tam giác.
Bán kính đường tròn nội tiếp $r = \frac{S}{p}$ , với $S$ là diện tích và $p$ là nửa chu vi tam giác.

Lỗi hay gặp

Nhầm lẫn vị trí của tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp. Ví dụ, xác định tâm ngoại tiếp là giao điểm của các đường phân giác.
Sửa: Ghi nhớ rõ định nghĩa: Tâm ngoại tiếp là giao điểm của các đường trung trực; Tâm nội tiếp là giao điểm của các đường phân giác trong.
Áp dụng sai công thức tính bán kính $R$ và $r$ , hoặc sử dụng nhầm lẫn các đại lượng trong công thức (ví dụ, dùng chu vi thay vì nửa chu vi cho $p$ ).
Sửa: Kiểm tra kỹ các đại lượng trong công thức: $R = \frac{abc}{4S}$ (cần $a,b,c,S$ ); $r = \frac{S}{p}$ (cần $S, p = \frac{a+b+c}{2}$ ).

Quy trình

Quy trình giải

1

Xác định yêu cầu bài toán

Đọc kỹ đề bài để biết cần tìm yếu tố nào: tâm, bán kính $R$ hay $r$ , hoặc chứng minh tính chất liên quan đến đường tròn ngoại tiếp/nội tiếp.

💡 Phân biệt rõ yêu cầu tìm đường tròn ngoại tiếp hay nội tiếp.

2

Phân tích đặc điểm tam giác

Xác định loại tam giác (vuông, cân, đều, thường) vì mỗi loại có những tính chất và công thức đặc biệt giúp giải nhanh hơn.

💡 Vẽ hình minh họa rõ ràng để dễ hình dung.

3

Áp dụng định nghĩa và tính chất

Sử dụng các định nghĩa về tâm (giao điểm đường trung trực cho ngoại tiếp, giao điểm đường phân giác cho nội tiếp) và các tính chất đặc trưng của chúng.

💡 Đối với tam giác vuông, tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền.

→Xem lại: Đường tròn

4

Sử dụng công thức tính bán kính

Nếu cần tính bán kính, áp dụng công thức $R = \frac{abc}{4S}$ hoặc $r = \frac{S}{p}$ . Tính toán các đại lượng phụ như diện tích $S$ (có thể dùng công thức Heron) và nửa chu vi $p = \frac{a+b+c}{2}$ .

💡 Kiểm tra lại các giá trị $a,b,c,S,p$ trước khi thay vào công thức.

→Xem lại: Đường tròn

5

Thực hiện tính toán và kết luận

Tiến hành các phép tính cẩn thận và trình bày lời giải rõ ràng. Nêu kết luận cuối cùng theo yêu cầu của bài toán.

💡 Đơn vị đo phải được ghi đầy đủ trong kết quả.

Ví dụ 1/3

Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

VÍ DỤ 1 · Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

L2

Cho tam giác

ABC

vuông tại

A

có

AB = 6

cm,

AC = 8

cm. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

.

Ví dụ 2/3

Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác thường

VÍ DỤ 2 · Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác thường

L3

Cho tam giác

ABC

có các cạnh

a = 13

cm,

b = 14

cm,

c = 15

cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó.

Ví dụ 3/3

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác cân

VÍ DỤ 3 · Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác cân

L3

Cho tam giác

ABC

cân tại

A

có

AB = AC = 10

cm và

BC = 12

cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dạng bài tập yêu cầu tìm vị trí của tâm và tính độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp hoặc nội tiếp một tam giác cụ thể.

1Vẽ hình tam giác.
2Xác định loại tam giác.
3Tìm vị trí tâm theo định nghĩa.
4Tính các yếu tố cần thiết (cạnh, diện tích).
5Áp dụng công thức bán kính.
6Nêu kết quả.

⚠️ Chú ý đến các trường hợp đặc biệt của tam giác (vuông, cân, đều) để áp dụng tính chất riêng.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Các khái niệm về đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác được ứng dụng rộng rãi trong thiết kế, kiến trúc và kỹ thuật để tạo ra các cấu trúc ổn định và hài hòa.

Kiến trúc và xây dựng: Thiết kế mái vòm, cửa sổ tròn, hoặc các cấu trúc có hình dạng phức tạp, đảm bảo sự cân đối và chịu lực tốt.

Kỹ thuật cơ khí: Chế tạo các bộ phận máy móc như bánh răng, vòng bi, hoặc các chi tiết cần sự chính xác cao về hình học để đảm bảo hoạt động trơn tru.

Thiết kế đồ họa và nghệ thuật: Tạo ra các họa tiết, logo hoặc bố cục dựa trên sự cân bằng hình học của tam giác và đường tròn, mang lại vẻ đẹp thẩm mỹ.

Thú vị: Mỗi tam giác đều có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp duy nhất, nhưng chỉ có tam giác đều mới có tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp trùng nhau.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh huyền $BC = 24$ cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là (cm):

2

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh huyền $BC = 28$ cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là (cm):

3

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh huyền $BC = 36$ cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là (cm):

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)