MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/5

Giới thiệu về Bất đẳng thức

Bất đẳng thức dùng để so sánh hai số hoặc biểu thức. Các ký hiệu phổ biến là $a < b$ (a nhỏ hơn b), $a > b$ (a lớn hơn b), $a \le b$ (a nhỏ hơn hoặc bằng b), và $a \ge b$ (a lớn hơn hoặc bằng b). Hai bất đẳng thức cùng chiều nếu chúng có cùng ký hiệu so sánh, ví dụ như cả hai đều là ' $<$ ' hoặc cả hai đều là ' $>$ '.

Ký hiệu nào biểu thị 'lớn hơn hoặc bằng'?

Mạch 2/5

Tính chất cộng và trừ

Khi cộng hoặc trừ cùng một số $c$ vào cả hai vế của bất đẳng thức, chiều của bất đẳng thức không đổi. Ví dụ, nếu $a < b$ , thì $a + c < b + c$ và $a - c < b - c$ . Tính chất này áp dụng cho tất cả các loại bất đẳng thức ( $>, \le, \ge$ ).

Cho bất đẳng thức $5 > 3$ . Nếu trừ 2 vào cả hai vế, bất đẳng thức mới là gì?

Mạch 3/5

Tính chất nhân và chia

Khi nhân hoặc chia hai vế của bất đẳng thức với một số dương $c$ , chiều bất đẳng thức không đổi. Tuy nhiên, nếu nhân hoặc chia với một số âm $c$ , chiều của bất đẳng thức phải đổi. Ví dụ: $a < b$ và

$c > 0$

$\Rightarrow ac < bc$

; $a < b$ và

$c < 0$

$\Rightarrow ac > bc$

Cho bất đẳng thức $10 \le 20$ . Nếu chia cả hai vế cho $-5$ , bất đẳng thức mới là gì?

Mạch 4/5

Tính chất cộng từng vế và bắc cầu

Ta có thể cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều. Nếu $a < b$ và $c < d$ , thì $a + c < b + d$ . Tính chất bắc cầu cũng rất quan trọng: nếu $a < b$ và $b < c$ , thì $a < c$ .

Biết $x < y$ và $y < z$ , ta có thể suy ra điều gì?

Mạch 5/5

Tính chất về bình phương

Một tính chất quan trọng khác là bình phương của mọi số thực luôn không âm. Nghĩa là, với mọi số thực $x$ , ta luôn có $x^2 \ge 0$ . Điều này rất hữu ích khi chứng minh các bất đẳng thức.

Với mọi số thực $x$ , mệnh đề nào sau đây luôn đúng?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Ký hiệu bất đẳng thức: $a < b$ , $a > b$ , $a \le b$ , $a \ge b$ .
Cộng/trừ một số vào hai vế bất đẳng thức giữ nguyên chiều.
Nhân/chia hai vế bất đẳng thức với số dương giữ nguyên chiều.
Nhân/chia hai vế bất đẳng thức với số âm phải đổi chiều.
Bình phương của một số thực bất kỳ luôn không âm: $x^2 \ge 0$ .

Lỗi hay gặp

Quên đổi chiều bất đẳng thức khi nhân hoặc chia với một số âm. Ví dụ: Từ $-2x < 6$ , suy ra $x < -3$ .
Sửa: Luôn nhớ quy tắc: khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với một số âm, phải đổi chiều bất đẳng thức. Ví dụ đúng: $-2x < 6 \Leftrightarrow x > -3$ .
Cộng hoặc trừ các biểu thức không hợp lệ. Ví dụ: Từ $a < b$ và $c < d$ , suy ra $a-c < b-d$ .
Sửa: Chỉ có thể cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều. Không có tính chất tương tự cho phép trừ từng vế. Nếu muốn trừ, có thể biến đổi thành cộng với số đối: $a-c < b-d$ không đúng, nhưng $a+(-c) < b+(-d)$ có thể đúng nếu $-c < -d$ .
Nhân hoặc chia từng vế hai bất đẳng thức mà không xét dấu. Ví dụ: Từ $a < b$ và $c < d$ , suy ra $ac < bd$ .
Sửa: Tính chất nhân từng vế hai bất đẳng thức chỉ đúng khi tất cả các số hạng đều dương. Trong trường hợp tổng quát, $ac < bd$ không phải lúc nào cũng đúng. Hãy cẩn trọng và chỉ áp dụng các tính chất đã học.

Quy trình

Quy trình giải

1

Xác định dạng bất đẳng thức

Đọc kỹ đề bài để nhận dạng bất đẳng thức cần chứng minh, giải, hoặc so sánh. Chú ý các ký hiệu $>, <, \ge, \le$ .

→Xem lại: Bất phương trình

2

Áp dụng tính chất cơ bản

Sử dụng các tính chất cộng, trừ, nhân, chia (có xét dấu) để biến đổi bất đẳng thức về dạng đơn giản hơn hoặc tương đương. Luôn nhớ đổi chiều khi nhân/chia với số âm.

💡 Ghi nhớ các tính chất và điều kiện áp dụng của chúng để tránh sai sót.

3

Sử dụng hằng đẳng thức/bình phương

Đối với các bài toán chứng minh, thường biến đổi bất đẳng thức về dạng $(A-B)^2 \ge 0$ hoặc tổng các bình phương. Nhớ rằng bình phương của một số thực luôn không âm.

💡 Tìm cách nhóm các hạng tử để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh.

4

Rút gọn và kết luận

Sau khi biến đổi, rút gọn biểu thức và đưa ra kết luận cuối cùng về nghiệm của bất đẳng thức hoặc tính đúng đắn của bất đẳng thức cần chứng minh.

💡 Kiểm tra lại các bước biến đổi, đặc biệt là việc đổi chiều bất đẳng thức.

Ví dụ 1/3

Chứng minh bất đẳng thức cơ bản

VÍ DỤ 1 · Chứng minh bất đẳng thức cơ bản

L2

Cho

a < b

. Chứng minh rằng

3a - 5 < 3b - 5

.

Ví dụ 2/3

Giải bất đẳng thức bậc nhất

VÍ DỤ 2 · Giải bất đẳng thức bậc nhất

L2

Giải bất đẳng thức:

2x - 7 \ge 5x + 2

.

Ví dụ 3/3

Chứng minh bất đẳng thức dùng bình phương

VÍ DỤ 3 · Chứng minh bất đẳng thức dùng bình phương

L3

Chứng minh rằng với mọi số thực

a

,

a^2 - 4a + 5 \ge 1

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dạng toán yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức là đúng với các điều kiện cho trước.

1Biến đổi tương đương
2Dùng tính chất bình phương
3Áp dụng tính chất cơ bản
4Rút gọn và kết luận

⚠️ Thường đưa về dạng $A \ge 0$ hoặc $A \le 0$ và chứng minh điều đó.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Bất đẳng thức được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực thực tế để biểu diễn các giới hạn, điều kiện hoặc tối ưu hóa các tình huống.

Kinh tế học: Xác định giới hạn ngân sách: Chi phí sản xuất

C

phải nhỏ hơn hoặc bằng doanh thu

R

để đảm bảo lợi nhuận (

C \le R

).

Kỹ thuật: Thiết kế an toàn: Tải trọng tối đa

L_{max}

mà một cây cầu có thể chịu được phải lớn hơn hoặc bằng tải trọng dự kiến

L_{expected}

(

L_{max} \ge L_{expected}

). Tốc độ xe

v

phải nhỏ hơn hoặc bằng giới hạn tốc độ

v_{limit}

(

v \le v_{limit}

).

Y học: Liều lượng thuốc: Liều lượng thuốc

D

cho phép phải nằm trong một khoảng nhất định, ví dụ

D_{min} \le D \le D_{max}

để đảm bảo hiệu quả và an toàn.

Thú vị: Nền tảng của bất đẳng thức đã có từ thời Hy Lạp cổ đại với các nhà toán học như Euclid và Archimedes, nhưng sự phát triển và hệ thống hóa các tính chất của bất đẳng thức hiện đại bắt đầu từ thế kỷ 17 và 18.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Biết 5 < 15. So sánh $5+7$ và $15+7$ .

2

Biết 11 < 13. So sánh $11+13$ và $13+13$ .

3

Biết 8 < 9. So sánh $8+2$ và $9+2$ .

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)