MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/3

Phương trình Chính tắc của Mặt cầu

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$ có phương trình chính tắc là $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ . Đây là dạng cơ bản nhất để xác định mặt cầu khi biết tâm và bán kính. Các tọa độ $a, b, c$ và bán kính $R$ là các số thực, với $R>0$ .

Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm $I(1; -2; 3)$ và bán kính $R=4$ là:

Mạch 2/3

Phương trình Tổng quát của Mặt cầu

Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu là $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ . Để phương trình này biểu diễn một mặt cầu, điều kiện cần và đủ là $a^2+b^2+c^2-d>0$ . Khi đó, tâm mặt cầu là $I(a;b;c)$ và bán kính là $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ .

Phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z+5=0$ là phương trình của mặt cầu có tâm và bán kính là:

Mạch 3/3

Vị trí Tương đối giữa Mặt cầu và Mặt phẳng

Để xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu $(S)$ tâm $I$ , bán kính $R$ và mặt phẳng $(P)$ , ta tính khoảng cách $h$ từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ .

Cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và bán kính $R$ . Mặt phẳng $(P)$ có vị trí tương đối như thế nào với $(S)$ nếu khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ là $h$ và $h < R$ ?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Chính tắc: (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²
Tổng quát là mặt cầu ⟺ a²+b²+c²-d>0
Tâm I(a;b;c), R=√(a²+b²+c²-d)
So sánh h=d(I,(P)) với R để xét vị trí
Cắt mặt phẳng → đường tròn r=√(R²-h²)

Lỗi hay gặp

Lấy R = a²+b²+c²−d (quên căn bậc hai)
Sửa: R = √(a²+b²+c²−d).
Nhầm dấu tọa độ tâm
Sửa: Hệ số của x là −2a nên tâm có hoành độ +a.
Không kiểm tra điều kiện a²+b²+c²−d>0
Sửa: Nếu ≤0 thì không phải mặt cầu.

Quy trình

Quy trình giải

1

Nhớ dạng phương trình mặt cầu

(x−a)²+(y−b)²+(z−c)² = R² có tâm I(a,b,c) và bán kính R.

2

Khai triển về dạng tổng quát

x²+y²+z²+2Dx+2Ey+2Fz+G=0; tâm I(−D,−E,−F), R=√(D²+E²+F²−G) nếu R>0.

💡 Điều kiện tồn tại: D²+E²+F²−G>0

3

Viết phương trình theo điều kiện

Biết tâm I(a,b,c) và R: thay vào công thức chuẩn; biết tâm và điểm trên mặt cầu: R=|IM|.

4

Tính khoảng cách và xét vị trí

d(I,M) vs R: M trong cầu (d<R), trên cầu (d=R), ngoài cầu (d>R).

5

Xét giao mặt cầu với mặt phẳng

Giao là đường tròn khi d(I,(P))<R; tiếp xúc khi d=R; không cắt khi d>R.

Ví dụ 1/3

Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

VÍ DỤ 1 · Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

L1

Viết phương trình mặt cầu có tâm

I(1, -2, 3)

và bán kính

R = 4

.

Ví dụ 2/3

Tìm tâm và bán kính từ phương trình tổng quát

VÍ DỤ 2 · Tìm tâm và bán kính từ phương trình tổng quát

L2

Cho phương trình mặt cầu:

x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 11 = 0

. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu.

Ví dụ 3/3

Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm

VÍ DỤ 3 · Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm

L4

Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm

A(1, 0, 0)

,

B(0, 1, 0)

,

C(0, 0, 1)

và có tâm nằm trên mặt phẳng

x+y+z=0

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Lập phương trình mặt cầu từ tâm và bán kính hoặc từ các điều kiện về điểm, mặt phẳng.

1Xác định tâm I(a,b,c) và R
2Viết (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²
3Kiểm tra bằng điểm đã cho

⚠️ Nếu biết đường kính AB: tâm là trung điểm, R=|AB|/2

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Phương trình mặt cầu mô tả mọi vật thể hình cầu trong không gian 3 chiều — từ định vị GPS đến đồ họa máy tính.

Định vị GPS: Mỗi vệ tinh xác định một mặt cầu các vị trí có thể; giao của nhiều mặt cầu cho ra tọa độ chính xác của bạn.

Đồ họa 3D: Game và phim hoạt hình dùng phương trình mặt cầu để dựng hình, kiểm tra va chạm giữa các vật thể.

Vật lý: Vùng ảnh hưởng của sóng âm, sóng nổ lan tỏa dạng mặt cầu đồng tâm.

Thú vị: GPS hoạt động nhờ giao của các mặt cầu: cần ít nhất 4 vệ tinh để xác định chính xác vị trí 3 chiều của bạn — đúng là hình học không gian trong túi quần!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Tâm của mặt cầu $(S): x^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2 = 16$ là:

2

Bán kính của mặt cầu $(S): (x - 4)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 1$ là:

3

Tâm của mặt cầu $(S): (x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 = 36$ là:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)