MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Định nghĩa Nguyên hàm

Nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là hàm số $F(x)$ có đạo hàm là $f(x)$ , tức là $F'(x)=f(x)$ . Ký hiệu $\int f(x)\,dx = F(x)+C$ , trong đó $C$ là hằng số tùy ý. Phép lấy nguyên hàm là phép toán ngược của phép lấy đạo hàm. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ được gọi là họ nguyên hàm.

Tính chất	Nội dung
Tuyến tính	$\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g$
Cộng đoạn	$\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$
Đổi cận	$\int_a^b = -\int_b^a$
Cùng cận	$\int_a^a f = 0$

Tính chất của tích phân

Theo định nghĩa, $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nếu:

Mạch 2/4

Bảng Nguyên hàm Cơ bản

Chúng ta cần ghi nhớ các công thức nguyên hàm cơ bản sau:

$\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (với $n\neq-1$ )

$\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$

$\int e^x\,dx=e^x+C$

$\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C$

$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$

$\int\cos x\,dx=\sin x+C$

Lưu ý trường hợp $n=-1$ của công thức lũy thừa.

f(x)	∫f(x)dx
$x^n\ (n\ne-1)$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\|x\|+C$
$e^x$	$e^x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$

Bảng nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x$ là:

Mạch 3/4

Kỹ thuật Đổi biến số

Phương pháp đổi biến số thường áp dụng khi gặp biểu thức dạng $f(g(x)) \cdot g'(x)$ . Ta đặt $u = g(x)$ , khi đó $du = g'(x)\,dx$ . Biến đổi tích phân về theo biến $u$ , tính nguyên hàm theo $u$ , sau đó thay $u=g(x)$ trở lại để có kết quả theo biến $x$ . Đây là kỹ thuật quan trọng để đơn giản hóa tích phân.

Kỹ thuật	Công thức
Từng phần	$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
Đổi biến	$\int f(u(x))u'(x)dx = \int f(u)du$
Đổi cận	Đổi biến ở tích phân xác định thì ĐỔI CẢ CẬN

Hai kỹ thuật tính tích phân cơ bản

Để tính nguyên hàm $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ , ta nên đặt $u$ bằng:

Mạch 4/4

Kỹ thuật Tích phân Từng phần

Công thức tích phân từng phần là $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ . Để áp dụng hiệu quả, ta cần lựa chọn $u$ và $dv$ hợp lý. Nguyên tắc LIATE (Logarit, Nghịch đảo lượng giác, Đa thức, Lượng giác, Mũ) giúp chọn $u$ theo thứ tự ưu tiên: Logarit là ưu tiên cao nhất, Mũ là thấp nhất. Sau khi chọn $u$ , ta tính $du$ và từ $dv$ ta tính $v$ .

Kỹ thuật	Công thức
Từng phần	$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
Đổi biến	$\int f(u(x))u'(x)dx = \int f(u)du$
Đổi cận	Đổi biến ở tích phân xác định thì ĐỔI CẢ CẬN

Hai kỹ thuật tính tích phân cơ bản

Khi tính nguyên hàm $\int x \sin x \,dx$ bằng phương pháp từng phần, ta nên chọn $u$ là:

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Không bỏ hằng số $C$ .
Đổi biến: sau tính theo $u$ , thay ngược $u=g(x)$ .
Từng phần LIATE: Logarit→Nghịch lg→Đa thức→Mũ→Lượng giác.
$\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$ , không dùng công thức lũy thừa.
Kiểm tra: đạo hàm kết quả phải trả về $f(x)$ .

Lỗi hay gặp

$\int x^{-1}\,dx=x^0/0+C$ .
Sửa: $n=-1$ là ngoại lệ: $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$ .
Từng phần $\int x\ln x\,dx$ : chọn $u=x$ .
Sửa: LIATE: logarit ưu tiên hơn đa thức. Chọn $u=\ln x$ , $dv=x\,dx$ .

Quy trình

Quy trình giải

1

Nhớ bảng nguyên hàm cơ bản

∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C; ∫eˣdx=eˣ+C; ∫(1/x)dx=ln|x|+C; ∫sinx dx=−cosx+C; ∫cosx dx=sinx+C.

2

Nhận dạng phương pháp

Xem dạng hàm số để chọn: biến đổi đại số, đặt ẩn phụ (đổi biến), từng phần, hoặc bảng nguyên hàm.

💡 Thử biến đổi đơn giản trước khi dùng phương pháp phức tạp

3

Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt u=g(x), tính du=g'(x)dx; thay vào, tính ∫f(u)du; thay ngược u=g(x) vào kết quả.

4

Phương pháp tích phân từng phần

∫u dv = uv − ∫v du; chọn u là phần dễ đạo hàm, dv là phần dễ tích phân.

5

Kiểm tra bằng đạo hàm

Đạo hàm kết quả F(x)+C phải bằng hàm số ban đầu f(x); đây là cách kiểm tra chắc chắn nhất.

Ví dụ 1/5

Ví dụ 1

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1

L2

Tính

\int\frac{\ln x}{x}\,dx

Ví dụ 2/5

Ví dụ 2

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2

L2

Tính

\int xe^x\,dx

Ví dụ 3/5

Ví dụ 3

VÍ DỤ 3 · Ví dụ 3

L2

Hình vẽ chia hình phẳng dưới đồ thị

y=2x

trên đoạn

[1;7]

thành

6

cột chữ nhật bằng nhau, chiều cao lấy tại điểm giữa mỗi cột. Tổng diện tích

6

cột đó bằng:

6 cột, mỗi cột rộng 1, chiều cao lấy ở điểm giữa

Ví dụ 4/5

Ví dụ 4

VÍ DỤ 4 · Ví dụ 4

L3

Tìm nguyên hàm

F(x)

của

f(x)=6x^2 - 6x + 4

thỏa mãn

F(1)=8

.

Ví dụ 5/5

Ví dụ 5

VÍ DỤ 5 · Ví dụ 5

L4

Họ nguyên hàm

\displaystyle\int (2x - 1)^{3}\,dx

bằng:

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Đặt u=g(x) để đưa tích phân về dạng cơ bản trong bảng nguyên hàm.

1Chọn u=g(x) phù hợp
2Tính du=g'(x)dx
3Thay vào và tính nguyên hàm theo u

⚠️ du phải có mặt trong biểu thức dưới dấu tích phân

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Nguyên hàm là phép "đảo ngược" đạo hàm — tìm lại quá trình từ tốc độ thay đổi.

Vật lý: Từ vận tốc tìm lại quãng đường (nguyên hàm của vận tốc).

Kinh tế: Từ chi phí cận biên tìm lại tổng chi phí.

Kỹ thuật: Khôi phục tín hiệu gốc từ tốc độ biến thiên.

Thú vị: Newton và Leibniz tranh cãi gay gắt suốt đời ai phát minh phép tính tích phân trước — một trong những vụ \"tranh chấp bản quyền\" nổi tiếng nhất lịch sử khoa học!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Họ nguyên hàm $\displaystyle\int 12\,dx$ bằng:

2

Họ nguyên hàm $\displaystyle\int \sin x\,dx$ bằng:

3

Họ nguyên hàm $\displaystyle\int 2x\,dx$ bằng:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)