MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Khoảng Biến Thiên (Range)

Khoảng biến thiên, ký hiệu là $R$ , đo độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu. Nó được tính bằng hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu. Đối với mẫu ghép nhóm, ta sử dụng các đầu mút của nhóm để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu được tính như thế nào?

Mạch 2/4

Khoảng Tứ Phân Vị (Interquartile Range)

Khoảng tứ phân vị, ký hiệu là $\Delta_Q$ , đo độ phân tán của $50\%$ dữ liệu ở phần giữa của mẫu. Nó được tính bằng hiệu giữa tứ phân vị thứ ba ( $Q_3$ ) và tứ phân vị thứ nhất ( $Q_1$ ). $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$ . Khoảng này ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ.

Đặc điểm nào sau đây KHÔNG đúng về khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ ?

Mạch 3/4

Phương Sai Mẫu Ghép Nhóm

Phương sai mẫu ghép nhóm, ký hiệu $s^2$ , đo mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình $\bar{x}$ . Với mẫu ghép nhóm có tần số $n_i$ , giá trị đại diện $x_i$ , cỡ mẫu $n$ , ta có công thức: $s^{2}=\dfrac{1}{n}\sum n_i(x_i-\bar{x})^{2}=\dfrac{1}{n}\sum n_i x_i^{2}-\bar{x}^{2}.$

Công thức tính phương sai mẫu ghép nhóm là gì?

Mạch 4/4

Độ Lệch Chuẩn Mẫu Ghép Nhóm

Độ lệch chuẩn, ký hiệu $s$ , là căn bậc hai của phương sai $s^2$ . Nó có cùng đơn vị với dữ liệu gốc, giúp đánh giá mức độ phân tán thực tế của các giá trị so với trung bình cộng. $s = \sqrt{s^{2}}$ . Giá trị $s$ càng lớn, dữ liệu càng phân tán.

Độ lệch chuẩn $s$ có mối quan hệ như thế nào với phương sai $s^2$ ?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Khoảng biến thiên R = max − min
Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q3 − Q1 (ít ảnh hưởng ngoại lệ)
Phương sai s² = (1/n)Σnᵢ(xᵢ−x̄)² = (1/n)Σnᵢxᵢ² − x̄²
Độ lệch chuẩn s = √(s²), cùng đơn vị dữ liệu
s càng lớn → dữ liệu càng phân tán

Lỗi hay gặp

Quên lấy giá trị đại diện xᵢ là trung điểm nhóm
Sửa: Với mẫu ghép nhóm, xᵢ là trung điểm của mỗi nhóm.
Nhầm phương sai với độ lệch chuẩn
Sửa: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, cùng đơn vị với dữ liệu.
Chia cho n−1 thay vì n (ở phổ thông)
Sửa: Chương trình phổ thông dùng chia cho n cho phương sai mẫu.

Quy trình

Quy trình giải

1

Tính phương sai

s² = Σ(xᵢ−x̄)²·nᵢ/n; đo mức độ phân tán của dữ liệu quanh trung bình.

2

Tính độ lệch chuẩn

s = √s²; cùng đơn vị với dữ liệu; s nhỏ: dữ liệu tập trung; s lớn: dữ liệu phân tán.

💡 Độ lệch chuẩn ≥ 0, bằng 0 khi tất cả bằng nhau

3

Tính khoảng biến thiên

R = x_max − x_min; đo mức độ trải rộng của dữ liệu.

4

Hệ số biến thiên

CV = s/x̄ × 100%; so sánh độ phân tán giữa các tập dữ liệu có đơn vị khác nhau.

5

Nhận xét ý nghĩa

So sánh phương sai, độ lệch chuẩn của các tập dữ liệu; tập có s nhỏ hơn đồng đều hơn.

Ví dụ 1/2

Tính khoảng tứ phân vị cho dữ liệu nhóm

VÍ DỤ 1 · Tính khoảng tứ phân vị cho dữ liệu nhóm

L3

Cho bảng phân bố tần số ghép nhóm về chiều cao (cm) của 100 học sinh như sau: \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Lớp chiều cao & Tần số (

n_i

) & Tần số tích lũy \\ \hline [150, 155) & 15 & 15 \\ [155, 160) & 30 & 45 \\ [160, 165) & 35 & 80 \\ [165, 170) & 12 & 92 \\ [170, 175) & 8 & 100 \\ \hline \end{tabular} Tính khoảng tứ phân vị (

IQR

).

Ví dụ 2/2

Tính phương sai và độ lệch chuẩn

VÍ DỤ 2 · Tính phương sai và độ lệch chuẩn

L3

Cho bảng phân bố tần số ghép nhóm về thời gian hoàn thành một bài kiểm tra (phút) của 50 học sinh: \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Lớp thời gian & Tần số (

n_i

) & Trung điểm (

x_i

) & Tần số tích lũy \\ \hline [10, 20) & 5 & 15 & 5 \\ [20, 30) & 15 & 25 & 20 \\ [30, 40) & 20 & 35 & 40 \\ [40, 50) & 10 & 45 & 50 \\ \hline \end{tabular} Tính phương sai (

s^2

) và độ lệch chuẩn (

s

).

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Tính s² và s từ bảng số liệu hoặc bảng tần số để đánh giá độ phân tán.

1Tính trung bình x̄
2Tính s²=Σ(xᵢ-x̄)²nᵢ/n
3Tính s=√s² và nhận xét

⚠️ Dùng công thức s²=Σxᵢ²nᵢ/n − x̄² để tính nhanh hơn

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Độ phân tán cho biết dữ liệu "ổn định" hay "trồi sụt" — quan trọng hơn cả giá trị trung bình trong nhiều quyết định.

Tài chính: Độ lệch chuẩn của lợi nhuận chính là thước đo "rủi ro" của một khoản đầu tư.

Quản lý chất lượng: Nhà máy theo dõi độ lệch chuẩn kích thước sản phẩm để phát hiện dây chuyền lỗi (6 sigma).

Giáo dục: So sánh độ lệch chuẩn điểm thi để biết lớp nào học đồng đều hơn.

Thú vị: Hai nhà đầu tư có cùng lợi nhuận trung bình nhưng người có độ lệch chuẩn thấp hơn được xem là \"khôn ngoan\" hơn — vì ít rủi ro. Trung bình chưa kể hết câu chuyện!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Một mẫu số liệu ghép nhóm có độ lệch chuẩn bằng 4 thì có phương sai bằng

2

Cho mẫu số liệu ghép nhóm với các nhóm $[10;14),\ [14;18),\ [18;22),\ [22;26),\ [26;30)$ . Khoảng biến thiên của mẫu bằng bao nhiêu?

3

Cho mẫu số liệu ghép nhóm với các nhóm $[10;20),\ [20;30),\ [30;40),\ [40;50),\ [50;60)$ . Khoảng biến thiên của mẫu bằng bao nhiêu?

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)