Trong lý thuyết xác suất, một tập hợp các biến cố $B_1, B_2, \dots, B_n$ được gọi là một hệ đầy đủ nếu chúng thỏa mãn hai điều kiện: (1) Đôi một xung khắc: $B_i \cap B_j = \emptyset$ với mọi $i \neq j$. (2) Phủ kín không gian mẫu: $B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega$. Điều này có nghĩa là trong mọi thử nghiệm, một trong các biến cố $B_i$ chắc chắn xảy ra và không có hai biến cố nào xảy ra đồng thời.

Giả sử $B_1, B_2, \dots, B_n$ là một hệ đầy đủ các biến cố. Với một biến cố $A$ bất kỳ, xác suất của $A$ có thể được tính bằng công thức xác suất toàn phần: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) P(A \mid B_i)$ Công thức này cho phép tính xác suất của $A$ bằng cách xem xét xác suất của $A$ xảy ra trong từng trường hợp được phân chia bởi hệ đầy đủ $B_i$, sau đó cộng các xác suất có điều kiện này lại, mỗi xác suất được nhân với xác suất của trường hợp $B_i$ tương ứng.

Công thức Bayes cho phép ta tính xác suất có điều kiện của một biến cố $B_k$ khi biết biến cố $A$ đã xảy ra, dựa trên xác suất tiên nghiệm $P(B_k)$ và xác suất có điều kiện $P(A \mid B_k)$. Cụ thể, với $B_1, \dots, B_n$ là một hệ đầy đủ: $P(B_k \mid A) = \frac{P(B_k) P(A \mid B_k)}{P(A)} = \frac{P(B_k) P(A \mid B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(B_i) P(A \mid B_i)}$ Đây là công cụ mạnh mẽ để cập nhật niềm tin về một sự kiện khi có thêm thông tin mới.

Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất $X$ và $Y$. Dây chuyền $X$ sản xuất 60% tổng số sản phẩm, dây chuyền $Y$ sản xuất 40%. Tỷ lệ sản phẩm lỗi của $X$ là 3%, của $Y$ là 5%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, ta tính xác suất sản phẩm đó bị lỗi. Gọi $A$ là biến cố 'sản phẩm bị lỗi'. Gọi $B_1$ là biến cố 'sản phẩm do dây chuyền $X$ sản xuất', $B_2$ là biến cố 'sản phẩm do dây chuyền $Y$ sản xuất'. Ta có $P(B_1)=0.6$, $P(B_2)=0.4$, $P(A \mid B_1)=0.03$, $P(A \mid B_2)=0.05$. Áp dụng công thức toàn phần: $P(A) = P(B_1)P(A \mid B_1) + P(B_2)P(A \mid B_2)$ $P(A) = (0.6)(0.03) + (0.4)(0.05) = 0.018 + 0.020 = 0.038$