Đạo hàm $f'(x)$ cho biết tốc độ biến thiên của hàm số $f(x)$. Nếu $f'(x) > 0$ trên một khoảng, hàm số $f(x)$ đồng biến (tăng) trên khoảng đó. Ngược lại, nếu $f'(x) < 0$, hàm số nghịch biến (giảm). Đây là ứng dụng cơ bản và quan trọng nhất của đạo hàm để khảo sát sự thay đổi của hàm số.

Điểm cực trị là nơi hàm số đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu. Một điểm $x=c$ là điểm cực trị nếu $f'(c)=0$ và đạo hàm đổi dấu khi đi qua $c$. Cụ thể, nếu $f'$ đổi từ '+' sang '-' thì $f(c)$ là cực đại; nếu $f'$ đổi từ '-' sang '+' thì $f(c)$ là cực tiểu. Đây là cách xác định điểm cực trị thông qua dấu của đạo hàm.

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a,b]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm cực trị của $f(x)$ trong khoảng $(a,b)$. 2. Tính giá trị của $f(x)$ tại các điểm cực trị tìm được và tại hai đầu mút $a, b$. 3. So sánh các giá trị này, giá trị lớn nhất là GTLN, giá trị nhỏ nhất là GTNN.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M(x_0, y_0)$ (với $y_0 = f(x_0)$) có phương trình là $y = f'(x_0)(x-x_0)+y_0$. Trong đó, $f'(x_0)$ chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0$. Công thức này giúp ta xác định đường thẳng tiếp xúc với đồ thị tại một điểm cho trước.