MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Định nghĩa Phương trình Lượng giác

Phương trình lượng giác là phương trình chứa ẩn trong các hàm số lượng giác như $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ . Do tính tuần hoàn của các hàm này, nghiệm của phương trình lượng giác thường có dạng lặp lại với chu kỳ $2\pi$ hoặc $\pi$ , biểu diễn dưới dạng $x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = \alpha + k\pi$ với $k$ là số nguyên.

Đâu là đặc điểm của nghiệm phương trình lượng giác?

Mạch 2/4

Phương trình Lượng giác Cơ bản

Các dạng phương trình lượng giác cơ bản và cách giải:

$\sin x = m$ (với $|m| \leq 1$ ): Nghiệm là $x = \arcsin m + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \arcsin m + k2\pi$ .
$\cos x = m$ (với $|m| \leq 1$ ): Nghiệm là $x = \pm \arccos m + k2\pi$ .
$\tan x = m$ : Nghiệm là $x = \arctan m + k\pi$ .

Nghiệm của phương trình $\cos x = \frac{1}{2}$ là:

Mạch 3/4

Trường hợp Nghiệm Đặc biệt

Xét các trường hợp giá trị đặc biệt của $m$ trong phương trình lượng giác cơ bản:

$\sin x = 0$ : $x = k\pi$ .
$\sin x = 1$ : $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ .
$\cos x = 0$ : $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ . Các trường hợp này là các dạng suy biến của công thức nghiệm tổng quát.

Tập nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ là:

Mạch 4/4

Kỹ thuật Giải Phương trình Lượng giác

Khi phương trình phức tạp hơn, ta áp dụng các kỹ thuật sau:

Đặt ẩn phụ: Ví dụ, đặt $t = \sin x$ hoặc $t = \cos x$ để đưa về phương trình đại số (thường là bậc hai).
Chia hai vế cho $\cos^2 x$ (nếu $\cos x \neq 0$ ): Biến đổi về phương trình theo $\tan x$ .
Sử dụng công thức cộng góc: Biến đổi $a\sin x + b\cos x$ về dạng $R\sin(x+\varphi)$ hoặc $R\cos(x+\varphi)$ .

Để giải phương trình $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$ , ta nên sử dụng kỹ thuật nào?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

$\sin x=\sin\alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+k2\pi$ .
$\cos x=\cos\alpha \Leftrightarrow x=\pm\alpha+k2\pi$ .
$\tan x=\tan\alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k\pi$ .
Đặt $t=\sin x$ hoặc $\cos x$ khi có đa thức bậc hai.

Lỗi hay gặp

$\sin x=0.5$ chỉ có nghiệm $x=\pi/6$ .
Sửa: Có hai họ nghiệm: $x=\pi/6+k2\pi$ và $x=5\pi/6+k2\pi$ .
$\sin^2 x+\cos^2 x=\sin x+\cos x$ nên rút gọn trực tiếp.
Sửa: $\sin^2+\cos^2=1$ , nhưng $\sin+\cos$ là tổng, không bằng 1 trong mọi trường hợp.

Quy trình

Quy trình giải

1

Nhận dạng dạng phương trình

Phân loại: sinx=m (cơ bản), cosx=m (cơ bản), tanx=m, cotx=m, hoặc phương trình đưa về dạng cơ bản.

2

Giải phương trình sinx=m

Nếu |m|>1: vô nghiệm; |m|≤1: x=arcsin(m)+2kπ hoặc x=π−arcsin(m)+2kπ (k∈ℤ).

💡 sin dương: góc phần I và II; sin âm: góc phần III và IV

→Xem lại: Hàm lượng giác

3

Giải phương trình cosx=m

x=±arccos(m)+2kπ (k∈ℤ) khi |m|≤1; nhớ nghiệm đối xứng qua trục Ox.

→Xem lại: Hàm lượng giác

4

Giải phương trình tanx=m

x=arctan(m)+kπ (k∈ℤ); tan có chu kỳ π nên chỉ cộng kπ.

→Xem lại: Hàm lượng giác

5

Tìm nghiệm trong khoảng

Thay k=0,±1,±2,... để tìm các nghiệm cụ thể trong khoảng đề bài yêu cầu.

Ví dụ 1/2

Ví dụ 1

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1

L2

Giải

2\cos^2 x-3\cos x+1=0

Ví dụ 2/2

Ví dụ 2

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2

L2

Giải

\sin x+\sqrt{3}\cos x=1

trên

[0,2\pi]

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Giải các phương trình dạng sinx=a, cosx=a, tanx=a tìm tập nghiệm tổng quát.

1Kiểm tra điều kiện |a|≤1 (sin,cos)
2Viết nghiệm tổng quát
3Tìm nghiệm cụ thể nếu đề yêu cầu

⚠️ Đừng quên ±arccos hay hai nhánh arcsin

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Phương trình lượng giác giải các bài toán tuần hoàn: thời điểm, vị trí lặp lại.

Thiên văn: Tính thời điểm Mặt Trời mọc/lặn, pha Mặt Trăng.

Kỹ thuật: Tìm thời điểm dòng điện xoay chiều đạt giá trị cho trước.

Thủy văn: Dự đoán thời điểm thủy triều lên/xuống.

Thú vị: Lịch thủy triều ở mọi cảng biển được tính bằng cách giải phương trình lượng giác tổng hợp nhiều \"sóng\" do Mặt Trăng và Mặt Trời gây ra!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Nghiệm của phương trình cosx = 1là

2

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sinx = m có nghiệm.

3

Nghiệm của phương trình $\sin x=\dfrac{1}{2}$ là:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)