MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/5

Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là $ax + by = c$ , với $a$ hoặc $b$ khác 0. Một cặp số $(x_0; y_0)$ là nghiệm của phương trình nếu nó thỏa mãn đẳng thức $ax_0 + by_0 = c$ . Phương trình này luôn có vô số nghiệm, biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Các phép biến đổi tương đương giúp tìm nghiệm hoặc phương trình tương đương.

Đâu là dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn?

Mạch 2/5

Tập nghiệm và biểu diễn hình học

Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ luôn có vô số nghiệm. Mỗi nghiệm là một cặp số $(x_0; y_0)$ thỏa mãn phương trình. Tập hợp tất cả các nghiệm này khi biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ sẽ tạo thành một đường thẳng. Đường thẳng này chứa tất cả các điểm có tọa độ là nghiệm của phương trình.

Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là gì?

Mạch 3/5

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ . Nghiệm của hệ là cặp số $(x_0; y_0)$ đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình. Về mặt hình học, nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình đó.

Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Mạch 4/5

Phương pháp giải hệ phương trình

Có hai phương pháp chính để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: phương pháp thế và phương pháp cộng đại số. Phương pháp thế thực hiện bằng cách rút một ẩn từ một phương trình và thế vào phương trình còn lại. Phương pháp cộng đại số dùng để khử một ẩn bằng cách nhân hai phương trình với các số thích hợp rồi cộng hoặc trừ chúng.

Phương pháp nào sau đây KHÔNG phải là phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

Mạch 5/5

Số nghiệm của hệ phương trình

Một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có ba trường hợp về số nghiệm: một nghiệm duy nhất (hai đường thẳng cắt nhau), vô số nghiệm (hai đường thẳng trùng nhau), hoặc vô nghiệm (hai đường thẳng song song và phân biệt). Số nghiệm phụ thuộc vào mối quan hệ giữa các hệ số của hai phương trình.

Khi nào hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn: $ax + by = c$ ( $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$ ).
Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là một cặp số $(x_0; y_0)$ .
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ .
Hai phương pháp giải hệ phương trình: phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.
Hệ phương trình có thể có một nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.

Lỗi hay gặp

Sai sót khi chuyển vế hoặc đổi dấu các hạng tử, đặc biệt là khi nhân một số âm vào phương trình hoặc chuyển vế qua dấu bằng.
Sửa: Luôn nhớ quy tắc: khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình, phải đổi dấu của hạng tử đó. Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của phương trình với một số âm, phải đổi chiều dấu bất đẳng thức (nếu có) và cẩn thận với dấu của các hạng tử.
Trong phương pháp cộng đại số, học sinh quên nhân (hoặc chia) tất cả các hạng tử ở cả hai vế của phương trình khi muốn làm cho hệ số của một ẩn đối nhau hoặc bằng nhau.
Sửa: Khi quyết định nhân (hoặc chia) một phương trình với một số, hãy đảm bảo rằng bạn áp dụng phép toán đó cho *tất cả* các hạng tử ở cả vế trái và vế phải của phương trình để đảm bảo tính tương đương.
Kết luận sai số nghiệm của hệ phương trình (ví dụ: nhầm lẫn giữa vô nghiệm và vô số nghiệm, hoặc kết luận thiếu).
Sửa: Sau khi giải, nếu thu được phương trình $0x + 0y = k$ với $k \neq 0$ , hệ vô nghiệm. Nếu thu được $0x + 0y = 0$ , hệ có vô số nghiệm. Nếu thu được một nghiệm $(x_0; y_0)$ cụ thể, hệ có nghiệm duy nhất. Luôn kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Quy trình

Quy trình giải

Bước 1

Nhận dạng bài toán

Xác định xem bài toán yêu cầu giải một phương trình hay một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Đảm bảo các ẩn và hệ số đúng dạng $ax + by = c$ .

💡 Đối với bài toán có lời văn, hãy đọc kỹ để xác định các đại lượng chưa biết và mối quan hệ giữa chúng.

Bước 2

Lập phương trình/hệ

Nếu là bài toán có lời văn, đặt các ẩn số (thường là $x, y$ ) cho các đại lượng cần tìm và lập phương trình hoặc hệ phương trình dựa trên các mối quan hệ đã cho.

💡 Đảm bảo số lượng phương trình bằng số lượng ẩn để có thể giải được hệ.

Bước 3

Chọn phương pháp giải

Đối với hệ phương trình, chọn phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Chọn phương pháp nào thuận tiện hơn tùy thuộc vào dạng hệ số của phương trình.

💡 Phương pháp thế thường hiệu quả khi một ẩn đã được biểu diễn rõ ràng hoặc có hệ số là $1$ hoặc $-1$ . Phương pháp cộng đại số tốt khi có thể dễ dàng làm cho hệ số của một ẩn đối nhau.

Bước 4

Thực hiện giải

Áp dụng phương pháp đã chọn để biến đổi hệ phương trình về một phương trình bậc nhất một ẩn, giải phương trình đó, sau đó tìm giá trị của ẩn còn lại.

💡 Cẩn thận với các phép tính số học, đặc biệt là dấu. Luôn kiểm tra lại các bước biến đổi.

Bước 5

Kiểm tra và kết luận

Thay cặp nghiệm tìm được vào các phương trình ban đầu để kiểm tra tính đúng đắn. Đối với bài toán có lời văn, đối chiếu nghiệm với điều kiện của ẩn và trả lời câu hỏi của đề bài.

💡 Nếu kết quả kiểm tra không khớp, hãy rà soát lại từng bước giải từ đầu.

Ví dụ 1/3

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

VÍ DỤ 1 · Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

L2

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

\begin{cases} x - 2y = 1 \quad (1) \\ 2x + 3y = 9 \quad (2) \end{cases}

Ví dụ 2/3

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

VÍ DỤ 2 · Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

L3

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

\begin{cases} 3x + 2y = 7 \quad (1) \\ 2x - 3y = 1 \quad (2) \end{cases}

Ví dụ 3/3

Bài toán thực tế dẫn đến hệ phương trình

VÍ DỤ 3 · Bài toán thực tế dẫn đến hệ phương trình

L3

Một cửa hàng bán

2

loại bánh A và B. Giá mỗi chiếc bánh A là

15000

đồng, giá mỗi chiếc bánh B là

12000

đồng. Trong một ngày, cửa hàng bán được tổng cộng

50

chiếc bánh và thu về

660000

đồng. Hỏi cửa hàng đã bán được bao nhiêu chiếc bánh mỗi loại?

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Các bài toán yêu cầu giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn đã được cho sẵn dạng toán học.

1Nhận dạng hệ phương trình.
2Chọn phương pháp (thế hoặc cộng đại số).
3Biểu diễn ẩn (nếu dùng thế).
4Thực hiện phép tính.
5Tìm giá trị ẩn còn lại.
6Kết luận nghiệm.

⚠️ Lựa chọn phương pháp giải phù hợp sẽ giúp giảm thiểu sai sót và tăng tốc độ giải.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được ứng dụng rộng rãi để giải quyết các bài toán thực tế trong nhiều lĩnh vực khác nhau, giúp chúng ta mô hình hóa và tìm ra lời giải cho các vấn đề có nhiều yếu tố phụ thuộc.

Kinh tế - Tài chính: Tính toán chi phí sản xuất, doanh thu, lợi nhuận khi có hai loại sản phẩm hoặc dịch vụ với giá và số lượng khác nhau; phân bổ ngân sách, tính lãi suất.

Hóa học - Vật lý: Pha chế dung dịch (ví dụ: cần pha hai loại dung dịch có nồng độ khác nhau để tạo ra một dung dịch có nồng độ mong muốn); tính toán quãng đường, vận tốc, thời gian của hai vật thể chuyển động.

Đời sống hàng ngày: Xác định số lượng các mặt hàng khác nhau đã mua dựa trên tổng số lượng và tổng số tiền; tính toán lượng nguyên liệu cần thiết cho một công thức nấu ăn khi thay đổi khẩu phần.

Thú vị: Hệ phương trình tuyến tính đã được nghiên cứu từ thời cổ đại. Người Babylon cổ đại (khoảng $300$ năm TCN) đã biết cách giải các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, thường thông qua các bài toán liên quan đến việc chia đất đai hoặc tài sản.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Phương trình nào sau đây không là phương trình bậc nhất hai ẩn?

2

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

3

Phương trình nào sau đây không là phương trình bậc nhất hai ẩn?

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)