MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Mở đầu: Phương trình quy về bậc nhất

Trong Toán lớp 9, chúng ta thường gặp các phương trình không ở dạng bậc nhất $ax + b = 0$ ( $a \neq 0$ ) ban đầu. Tuy nhiên, bằng các phép biến đổi đại số, ta có thể đưa chúng về dạng này. Đây gọi là phương trình quy về phương trình bậc nhất. Mục tiêu là đưa về dạng $ax + b = 0$ .

Mục tiêu chính khi giải phương trình quy về phương trình bậc nhất là gì?

Mạch 2/4

Phương trình có dấu ngoặc và ẩn ở mẫu

Đối với phương trình có dấu ngoặc, ta thực hiện phân phối để bỏ ngoặc, sau đó chuyển vế để đưa về dạng $ax + b = 0$ . Với phương trình có ẩn ở mẫu, trước tiên cần tìm Điều kiện xác định (ĐKXĐ) để mẫu khác 0. Sau đó, quy đồng, khử mẫu và giải phương trình bậc nhất thu được, cuối cùng kiểm tra nghiệm với ĐKXĐ.

Khi giải phương trình có ẩn ở mẫu, bước nào là bắt buộc phải thực hiện?

Mạch 3/4

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương trình dạng $|A(x)| = B(x)$ (hoặc $|A(x)| = B$ ) được giải bằng cách xét hai trường hợp: $A(x) = B(x)$ và $A(x) = -B(x)$ . Điều kiện quan trọng là $B(x) \ge 0$ (hoặc $B \ge 0$ ). Các nghiệm tìm được phải thỏa mãn điều kiện này.

Để giải phương trình $|2x - 1| = 3$ , ta cần xét những trường hợp nào?

Mạch 4/4

Phương trình tích và kiểm tra nghiệm

Phương trình tích có dạng $A(x) \cdot B(x) = 0$ . Ta giải bằng cách cho từng thừa số bằng 0: $A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$ . Sau khi tìm được các nghiệm từ các phương trình con, điều quan trọng là phải kiểm tra lại chúng với các điều kiện ban đầu của phương trình (nếu có), như ĐKXĐ hoặc điều kiện về dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối.

Nghiệm của phương trình tích $(x-2)(x+3)=0$ là:

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Mục tiêu là biến đổi phương trình về dạng $ax + b = 0$ ( $a \neq 0$ ).
Phương trình có ẩn ở mẫu cần tìm Điều kiện xác định (ĐKXĐ) trước khi giải và kiểm tra nghiệm.
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối $|A(x)| = B(x)$ được xét thành hai trường hợp: $A(x) = B(x)$ và $A(x) = -B(x)$ với điều kiện $B(x) \ge 0$ .
Phương trình tích $A(x) \cdot B(x) = 0$ được giải bằng cách cho từng thừa số bằng $0$ : $A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$ .
Luôn kiểm tra lại nghiệm với các điều kiện ràng buộc (nếu có) của phương trình ban đầu.

Lỗi hay gặp

Quên tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) hoặc không kiểm tra nghiệm với ĐKXĐ khi giải phương trình có ẩn ở mẫu. Ví dụ: giải phương trình $\frac{x}{x-1} = \frac{1}{x-1}$ mà không loại bỏ nghiệm $x=1$ .
Sửa: Trước khi bắt đầu giải, luôn đặt điều kiện cho các mẫu số khác $0$ . Sau khi tìm được nghiệm, thay nghiệm vào ĐKXĐ để kiểm tra tính hợp lệ. Nếu nghiệm làm mẫu số bằng $0$ , nghiệm đó phải bị loại bỏ.
Sai sót khi bỏ dấu ngoặc hoặc chuyển vế đổi dấu. Ví dụ: $-(2x - 3)$ thành $-2x - 3$ thay vì $-2x + 3$ .
Sửa: Thực hiện cẩn thận các phép tính phân phối và quy tắc chuyển vế đổi dấu. Nên viết từng bước rõ ràng để tránh nhầm lẫn, đặc biệt với dấu trừ phía trước dấu ngoặc.
Giải phương trình giá trị tuyệt đối $|A(x)| = B(x)$ mà không đặt điều kiện $B(x) \ge 0$ hoặc không kiểm tra nghiệm với điều kiện này.
Sửa: Khi giải phương trình dạng $|A(x)| = B(x)$ , luôn đặt điều kiện $B(x) \ge 0$ trước. Sau khi tìm được các nghiệm từ hai trường hợp $A(x) = B(x)$ và $A(x) = -B(x)$ , thay các nghiệm đó vào điều kiện $B(x) \ge 0$ để loại bỏ các nghiệm không thỏa mãn.

Quy trình

Quy trình giải

1

Xác định dạng

Nhận diện loại phương trình (có dấu ngoặc, có ẩn ở mẫu, giá trị tuyệt đối, phương trình tích) để áp dụng phương pháp phù hợp.

💡 Quan sát kỹ các thành phần của phương trình để phân loại chính xác.

2

Đặt điều kiện (nếu có)

Nếu phương trình có ẩn ở mẫu hoặc chứa giá trị tuyệt đối, hãy đặt điều kiện xác định (ĐKXĐ) hoặc điều kiện cho vế phải trước khi giải.

💡 Đừng bao giờ bỏ qua bước này cho phương trình có ẩn ở mẫu hoặc GTTĐ dạng $|A(x)|=B(x)$ .

3

Biến đổi phương trình

Sử dụng các phép biến đổi đại số (khai triển, quy đồng, khử mẫu, xét trường hợp GTTĐ, phân tích thành nhân tử) để đưa phương trình về dạng $ax + b = 0$ .

💡 Thực hiện từng bước cẩn thận, đặc biệt với dấu và phép nhân.

4

Giải phương trình bậc nhất

Sau khi đã đưa về dạng $ax + b = 0$ , giải phương trình để tìm giá trị của ẩn $x$ .

💡 Chuyển $b$ sang vế phải và chia cho $a$ (nếu $a \neq 0$ ).

5

Kiểm tra và kết luận

So sánh nghiệm tìm được với các điều kiện đã đặt ở bước 2 (nếu có) để loại bỏ nghiệm không thỏa mãn và kết luận tập nghiệm của phương trình.

💡 Một nghiệm không thỏa mãn điều kiện phải bị loại bỏ, dù phép tính đúng.

Ví dụ 1/3

Phương trình có dấu ngoặc

VÍ DỤ 1 · Phương trình có dấu ngoặc

L2

Giải phương trình:

3(x - 2) - 5x = 4 - (x + 1)

Ví dụ 2/3

Phương trình có ẩn ở mẫu

VÍ DỤ 2 · Phương trình có ẩn ở mẫu

L3

Giải phương trình:

\frac{2}{x-1} + \frac{1}{2} = \frac{x}{2(x-1)}

Ví dụ 3/3

Phương trình chứa GTTĐ

VÍ DỤ 3 · Phương trình chứa GTTĐ

L3

Giải phương trình:

|3x - 2| = x + 4

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dạng phương trình cần khai triển các dấu ngoặc bằng quy tắc phân phối và thu gọn để đưa về dạng $ax+b=0$ .

1Khai triển dấu ngoặc.
2Chuyển ẩn về một vế.
3Chuyển hằng số về vế còn lại.
4Thu gọn hai vế.
5Giải phương trình bậc nhất.

⚠️ Cẩn thận với dấu trừ trước dấu ngoặc.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Phương trình quy về bậc nhất được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực để mô hình hóa và giải quyết các vấn đề thực tế.

Kinh tế học: Tính toán lợi nhuận, chi phí hòa vốn, hoặc xác định giá bán để đạt được doanh thu mục tiêu, thường liên quan đến các phương trình tuyến tính hoặc có thể quy về tuyến tính.

Vật lý và Kỹ thuật: Giải các bài toán về chuyển động đều, tính toán cường độ dòng điện trong mạch điện đơn giản (định luật Ohm

U=IR

là một phương trình bậc nhất), hoặc xác định lực cân bằng.

Thú vị: Khái niệm phương trình bậc nhất đã xuất hiện từ thời Ai Cập cổ đại, với các bài toán được ghi lại trên cuộn giấy Papyrus Rhind khoảng năm 1650 TCN, cho thấy cách giải các bài toán dạng $x + ax = b$ hoặc $x + ax + bx = c$ .

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Tìm điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{8}{x - 7} = 7$ .

2

Tìm điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{5}{x + 2} = 2$ .

3

Tìm điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{4}{x - 7} = 4$ .

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)