MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/3

Mặt cầu và khối cầu

Khi quay nửa hình tròn tâm $O$ bán kính $R$ một vòng quanh đường kính, ta được một mặt cầu.

Mặt cầu là tập hợp các điểm cách tâm $O$ một khoảng bằng $R$ . Phần không gian bên trong mặt cầu là khối cầu. $O$ là tâm, $R$ là bán kính.

Mặt cầu tâm O, bán kính R

Mặt cầu là tập hợp các điểm có tính chất gì?

Mạch 2/3

Diện tích mặt cầu

Diện tích mặt cầu bán kính $R$ tính bởi công thức:

$S = 4\pi R^2$

Ví dụ mặt cầu bán kính $R = 3$ cm có diện tích $S = 4\pi \cdot 3^2 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^2$ .

S = 4πR²

Mặt cầu bán kính $R = 2$ cm có diện tích bằng bao nhiêu?

Mạch 3/3

Thể tích khối cầu

Thể tích khối cầu bán kính $R$ :

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

Ví dụ khối cầu bán kính $R = 3$ cm có thể tích $V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^3$ . Lưu ý: diện tích dùng $R^2$ , thể tích dùng $R^3$ .

V = 4/3·πR³

Khối cầu bán kính $R = 3$ cm có thể tích bằng bao nhiêu?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Hình cầu là khối tròn xoay, được giới hạn bởi mặt cầu.
Bán kính $R$ , đường kính $D = 2R$ .
Diện tích mặt cầu: $S = 4\pi R^2$ .
Thể tích hình cầu: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ .
Mặt cắt của hình cầu bởi mặt phẳng là một hình tròn, liên hệ bởi $R^2 = r^2 + h^2$ .

Lỗi hay gặp

Nhầm lẫn công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu, ví dụ dùng $V = 4\pi R^2$ hoặc $S = \frac{4}{3}\pi R^3$ .
Sửa: Ghi nhớ $S$ (diện tích) có đơn vị bậc hai ( $R^2$ ), $V$ (thể tích) có đơn vị bậc ba ( $R^3$ ). Công thức $S$ bắt đầu với số $4$ , công thức $V$ bắt đầu với phân số $\frac{4}{3}$ .
Sử dụng đường kính $D$ thay cho bán kính $R$ trực tiếp trong công thức mà không chia đôi.
Sửa: Luôn kiểm tra đại lượng đã cho là bán kính ( $R$ ) hay đường kính ( $D$ ). Nếu là $D$ , phải tính $R = \frac{D}{2}$ trước khi thay vào công thức.
Quên hằng số $\pi$ hoặc sử dụng giá trị xấp xỉ không chính xác khi đề bài yêu cầu giữ nguyên $\pi$ .
Sửa: Đọc kỹ yêu cầu đề bài. Nếu không có yêu cầu cụ thể, thường để kết quả dưới dạng chứa $\pi$ . Nếu cần giá trị số, sử dụng $\pi \approx 3,14$ hoặc $\pi \approx \frac{22}{7}$ hoặc giá trị từ máy tính.

Quy trình

Quy trình giải

1

Đọc hiểu đề bài

Đọc kỹ đề bài để xác định các đại lượng đã cho (ví dụ: $R$ , $D$ , $S$ , $V$ ) và đại lượng cần tìm.

2

Chuyển đổi đơn vị

Đảm bảo tất cả các đại lượng có cùng đơn vị. Nếu đề bài cho đường kính $D$ , hãy tính bán kính $R = \frac{D}{2}$ .

3

Chọn công thức phù hợp

Dựa vào đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm, chọn công thức diện tích mặt cầu ( $S = 4\pi R^2$ ) hoặc thể tích hình cầu ( $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ ) hoặc cả hai.

4

Thay số và tính toán

Thay các giá trị đã biết vào công thức đã chọn và thực hiện phép tính. Có thể để kết quả dưới dạng chứa $\pi$ hoặc làm tròn theo yêu cầu.

5

Kiểm tra kết quả

Đảm bảo kết quả có đơn vị phù hợp (ví dụ: $cm^2$ cho diện tích, $cm^3$ cho thể tích) và hợp lý trong ngữ cảnh bài toán.

Ví dụ 1/3

Tính diện tích và thể tích hình cầu

VÍ DỤ 1 · Tính diện tích và thể tích hình cầu

L2

Một quả bóng đá có bán kính

R = 11 \text{ cm}

. Hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của quả bóng đó. (Lấy

\pi \approx 3,14

).

Ví dụ 2/3

Tìm bán kính từ thể tích

VÍ DỤ 2 · Tìm bán kính từ thể tích

L3

Một quả bóng bay hình cầu có thể tích

V = 36\pi \text{ cm}^3

. Tính bán kính của quả bóng bay đó và diện tích bề mặt của nó.

Ví dụ 3/3

Mặt cắt của hình cầu

VÍ DỤ 3 · Mặt cắt của hình cầu

L3

Một hình cầu có bán kính

R = 5 \text{ cm}

. Một mặt phẳng cắt hình cầu đó, tạo ra một mặt cắt là hình tròn có bán kính

r = 3 \text{ cm}

. Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng cắt.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Cho bán kính hoặc đường kính, yêu cầu tính diện tích mặt cầu và/hoặc thể tích hình cầu.

1Xác định $R$ (hoặc $D$ )
2Áp dụng $S = 4\pi R^2$
3Áp dụng $V = \frac{4}{3}\pi R^3$
4Thực hiện tính toán

⚠️ Chú ý đổi đường kính sang bán kính trước khi tính.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Hình cầu là một trong những hình dạng cơ bản và phổ biến nhất trong tự nhiên và kỹ thuật, có nhiều ứng dụng trong đời sống.

Thiên văn học: Các hành tinh, mặt trăng, và các ngôi sao đều có hình dạng gần giống hình cầu do lực hấp dẫn.

Thể thao: Nhiều loại bóng trong thể thao như bóng đá, bóng rổ, bóng chuyền, bi-a đều có hình dạng hình cầu.

Kiến trúc và Kỹ thuật: Mái vòm, bồn chứa nước, bể chứa khí đốt thường được thiết kế dạng hình cầu để tối ưu hóa thể tích hoặc phân bố áp lực đều.

Thú vị: Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Archimedes đã chứng minh rằng tỉ lệ thể tích của một hình cầu nội tiếp trong một hình trụ có cùng bán kính và chiều cao bằng $2R$ là $2:3$ , một khám phá mà ông coi là thành tựu vĩ đại nhất của mình.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Mặt cầu bán kính $R=15$ cm có diện tích bằng (cm²):

2

Mặt cầu bán kính $R=12$ cm có diện tích bằng (cm²):

3

Mặt cầu bán kính $R=9$ cm có diện tích bằng (cm²):

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)