MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Định nghĩa hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ có dạng tổng quát là $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \\ \end{cases}$ . Trong đó $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ là các hệ số cho trước. Một cặp số $(x_0; y_0)$ là nghiệm của hệ nếu nó thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình. Tập hợp các nghiệm tạo thành tập nghiệm của hệ.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát nào sau đây?

Mạch 2/4

Số nghiệm của hệ phương trình

Xét hệ phương trình $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \\ \end{cases}$ . Hệ có thể có:

Một nghiệm duy nhất: nếu $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ .
Vô nghiệm: nếu $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ .
Vô số nghiệm: nếu $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ . (Các tỉ lệ được xét khi mẫu số khác 0).

Hệ phương trình $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ 4x + 2y = 5 \\ \end{cases}$ có bao nhiêu nghiệm?

Mạch 3/4

Phương pháp thế

Phương pháp thế dùng để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Các bước cơ bản:

Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại từ một trong hai phương trình.
Thế biểu thức này vào phương trình còn lại.
Giải phương trình một ẩn vừa nhận được.
Tìm giá trị của ẩn còn lại.
Kết luận nghiệm.

Trong phương pháp thế, bước đầu tiên là gì?

Mạch 4/4

Phương pháp cộng đại số

Phương pháp cộng đại số giúp khử một ẩn bằng cách cộng hoặc trừ hai phương trình. Các bước:

Nhân hai phương trình với các số thích hợp (nếu cần) để hệ số của một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.
Cộng hoặc trừ hai phương trình để được một phương trình một ẩn.
Giải phương trình một ẩn này.
Tìm giá trị của ẩn còn lại.
Kết luận nghiệm.

Mục đích chính của việc nhân hai phương trình trong phương pháp cộng đại số là gì?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \ \end{cases}$ .
Nghiệm của hệ là cặp số $(x; y)$ thỏa mãn cả hai phương trình.
Hệ có thể có một nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
Hai phương pháp giải chính là Phương pháp thế và Phương pháp cộng đại số.
Luôn kiểm tra lại nghiệm bằng cách thế vào hệ phương trình ban đầu.

Lỗi hay gặp

Sai dấu khi chuyển vế hoặc nhân một số âm vào phương trình. Ví dụ, từ $x - y = 2$ suy ra $x = 2 - y$ , nhưng lại thế thành $x = y - 2$ .
Sửa: Luôn kiểm tra kỹ dấu của các hạng tử khi thực hiện phép biến đổi tương đương hoặc khi thế biểu thức. Viết lại rõ ràng các bước chuyển vế để tránh nhầm lẫn.
Tính toán sai trong quá trình cộng, trừ, nhân, chia các hệ số hoặc các biến. Ví dụ, $3x + 2x = 6x$ thay vì $5x$ .
Sửa: Thực hiện từng bước tính toán một cách cẩn thận, đặc biệt với các số âm. Nên kiểm tra lại các phép tính nhẩm hoặc sử dụng nháp cho các phép tính phức tạp.
Khi sử dụng phương pháp thế, thay biểu thức vào phương trình còn lại nhưng quên đặt trong ngoặc hoặc quên nhân với hệ số của ẩn đó. Ví dụ, có $x = 2y$ , phương trình là $3x + 4y = 10$ , nhưng lại thế thành $2y + 4y = 10$ thay vì $3(2y) + 4y = 10$ .
Sửa: Đảm bảo rằng biểu thức được thế vào phải được đặt trong ngoặc và nhân với hệ số tương ứng của ẩn đó trong phương trình còn lại để bảo toàn giá trị.

Quy trình

Quy trình giải

1

Đưa về dạng chuẩn

Biến đổi mỗi phương trình của hệ về dạng $ax + by = c$ (nếu cần) bằng cách rút gọn và chuyển vế các hạng tử.

💡 Đảm bảo tất cả các hạng tử chứa ẩn nằm ở một vế và hằng số nằm ở vế còn lại.

2

Chọn phương pháp

Quyết định sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số tùy thuộc vào hệ số của các ẩn trong hệ.

💡 Phương pháp thế thích hợp khi có ẩn với hệ số $1$ hoặc $-1$ . Phương pháp cộng đại số hiệu quả khi các hệ số của một ẩn dễ dàng biến đổi thành đối nhau hoặc bằng nhau.

3

Thực hiện biến đổi

Áp dụng các bước của phương pháp đã chọn để loại bỏ một ẩn và thu được một phương trình bậc nhất một ẩn.

💡 Khi nhân phương trình với một số, hãy nhân tất cả các hạng tử ở cả hai vế để tránh sai sót.

4

Giải phương trình một ẩn

Giải phương trình bậc nhất một ẩn vừa tìm được để xác định giá trị của ẩn đó.

💡 Cẩn thận với các phép tính số học, đặc biệt là với phân số và số âm.

5

Tìm ẩn còn lại

Thế giá trị của ẩn đã biết vào một trong các phương trình ban đầu (hoặc đã biến đổi) để tìm giá trị của ẩn còn lại.

💡 Chọn phương trình đơn giản nhất để thế vào giúp giảm thiểu sai sót tính toán.

6

Kiểm tra và kết luận

Thay cặp nghiệm $(x; y)$ tìm được vào cả hai phương trình ban đầu để kiểm tra tính đúng đắn và kết luận nghiệm của hệ.

💡 Bước kiểm tra là cực kỳ quan trọng để đảm bảo kết quả chính xác.

Ví dụ 1/3

Giải bằng phương pháp thế

VÍ DỤ 1 · Giải bằng phương pháp thế

L2

Giải hệ phương trình sau:

\begin{cases} x - 2y = 1 \ 2x + 3y = 9 \ \end{cases}

Ví dụ 2/3

Giải bằng phương pháp cộng đại số

VÍ DỤ 2 · Giải bằng phương pháp cộng đại số

L2

Giải hệ phương trình sau:

\begin{cases} 3x + 2y = 7 \ 2x - 3y = 1 \ \end{cases}

Ví dụ 3/3

Hệ phương trình cần rút gọn

VÍ DỤ 3 · Hệ phương trình cần rút gọn

L3

Giải hệ phương trình sau:

\begin{cases} 2(x - 1) + 3(y + 2) = 7 \ 3x - 2(y - 3) = 1 \ \end{cases}

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Các hệ phương trình có dạng $ax + by = c$ ngay từ đầu, hoặc chỉ cần rút gọn đơn giản các biểu thức để đưa về dạng chuẩn.

1Đưa hệ về dạng chuẩn
2Chọn phương pháp phù hợp
3Giải phương trình một ẩn
4Tìm ẩn còn lại
5Kiểm tra và kết luận nghiệm

⚠️ Ưu tiên phương pháp thế nếu có ẩn với hệ số $1$ hoặc $-1$ . Nếu không, phương pháp cộng đại số thường hiệu quả hơn.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn được ứng dụng rộng rãi để mô hình hóa và giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hai đại lượng chưa biết có mối quan hệ tuyến tính.

Kinh tế học: Xác định giá và số lượng cân bằng trên thị trường khi biết hàm cung và hàm cầu.

Hóa học: Tính toán nồng độ của hai dung dịch khi trộn lẫn để đạt được nồng độ mong muốn.

Vật lý: Giải các bài toán chuyển động liên quan đến vận tốc và thời gian của hai vật thể.

Đời sống hàng ngày: Tính toán số lượng các loại hàng hóa khác nhau (ví dụ: số tờ tiền các mệnh giá) khi biết tổng số lượng và tổng giá trị.

Thú vị: Phương pháp giải hệ phương trình đã xuất hiện từ rất sớm trong lịch sử toán học, với những ghi chép cổ xưa nhất từ thời Babylon và Trung Quốc (khoảng 2000 năm TCN), cho thấy con người đã tìm cách giải quyết các bài toán có nhiều ẩn số từ hàng nghìn năm trước.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Cho hệ phương trình $x + y = 8$ và $x - y = -4$ . Tìm giá trị của $x$ .

2

Cho hệ phương trình $x + y = 11$ và $x - y = 7$ . Tìm giá trị của $x$ .

3

Cho hệ phương trình $x + y = 11$ và $x - y = 1$ . Tìm giá trị của $x$ .

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)