MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Mở đầu: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ học cách giải các bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Đây là một phương pháp quan trọng ở lớp 9, giúp chúng ta mô hình hóa và tìm ra lời giải cho các vấn đề phức tạp hơn. Phương pháp này bao gồm các bước chính: phân tích đề bài, đặt ẩn, lập hệ phương trình, giải hệ và kiểm tra kết quả.

Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thường được áp dụng khi bài toán có bao nhiêu đại lượng chưa biết?

Mạch 2/4

Bước 1: Đặt ẩn và Lập hệ phương trình

Bước đầu tiên là xác định các đại lượng cần tìm và đặt cho chúng các biến số thích hợp, thường là $x$ và $y$ . Sau đó, dựa vào các thông tin và điều kiện của bài toán, chúng ta thiết lập hai phương trình bậc nhất hai ẩn, thể hiện mối quan hệ giữa các đại lượng đó. Dạng tổng quát của hệ phương trình là $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ .

Trong hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 1 \end{cases}$ , các hệ số $a_1, b_1, c_1$ lần lượt là:

Mạch 3/4

Bước 2: Giải hệ phương trình

Sau khi đã lập được hệ phương trình, chúng ta sử dụng các phương pháp đã học để tìm nghiệm của hệ. Hai phương pháp phổ biến là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số. Phương pháp thế biến đổi một ẩn theo ẩn kia rồi thay vào phương trình còn lại. Phương pháp cộng đại số biến đổi hệ số để cộng hoặc trừ hai phương trình, khử một ẩn.

Phương pháp nào sau đây dùng để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

Mạch 4/4

Bước 3: Kiểm tra và trả lời

Sau khi tìm được nghiệm $(x, y)$ của hệ phương trình, điều quan trọng là phải kiểm tra xem nghiệm đó có thỏa mãn các điều kiện của bài toán thực tế hay không. Ví dụ, nếu $x$ là số người, nó phải là số nguyên dương. Cuối cùng, chúng ta diễn đạt nghiệm tìm được dưới dạng câu trả lời cho bài toán ban đầu.

Nếu giải hệ phương trình cho ra kết quả $x = -5$ và $y = 10$ , nhưng $x$ đại diện cho số lượng học sinh, thì kết quả này:

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Xác định rõ các đại lượng chưa biết và đặt ẩn $x, y$ phù hợp.
Phân tích đề bài để tìm hai mối quan hệ độc lập và lập thành hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Giải hệ phương trình $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
Kiểm tra điều kiện của nghiệm và trả lời bài toán thực tế.
Đảm bảo nghiệm tìm được phù hợp với ngữ cảnh của bài toán (ví dụ: số người, độ dài phải là số dương).

Lỗi hay gặp

Đặt ẩn $x, y$ không rõ ràng hoặc không phù hợp với yêu cầu của đề bài, dẫn đến khó khăn trong việc thiết lập mối quan hệ.
Sửa: Đọc kỹ đề bài, xác định chính xác các đại lượng cần tìm hoặc các đại lượng trung gian quan trọng. Ghi rõ đơn vị và điều kiện của các ẩn (ví dụ: $x > 0$ , $x$ là số nguyên).
Lập sai một hoặc cả hai phương trình do hiểu nhầm mối quan hệ giữa các đại lượng hoặc sai sót trong biến đổi biểu thức.
Sửa: Phân tích từng câu, từng ý trong đề bài. Diễn đạt mối quan hệ bằng lời trước khi chuyển thành biểu thức toán học. Cẩn thận với các từ khóa như 'tổng', 'hiệu', 'tích', 'thương', 'gấp đôi', 'ít hơn', 'nhiều hơn'.
Không kiểm tra điều kiện của nghiệm sau khi giải hệ, dẫn đến nghiệm không hợp lý trong ngữ cảnh thực tế (ví dụ: tuổi âm, số người lẻ).
Sửa: Sau khi tìm được $x, y$ , hãy đối chiếu với các điều kiện ban đầu của ẩn (ví dụ: $x, y$ phải là số dương, số nguyên, nhỏ hơn một giá trị nào đó...). Luôn kết luận bài toán bằng câu trả lời phù hợp với thực tế.

Quy trình

Quy trình giải

1

Đọc và phân tích

Đọc kỹ đề bài, xác định các đại lượng đã biết và các đại lượng chưa biết. Tìm các mối quan hệ giữa chúng.

💡 Gạch chân các thông tin quan trọng và các câu hỏi của bài toán.

2

Đặt ẩn và điều kiện

Chọn hai đại lượng chưa biết làm ẩn $x, y$ . Đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn (ví dụ: $x > 0$ , $x$ là số nguyên, ...).

💡 Nên đặt ẩn là đại lượng mà đề bài yêu cầu tìm trực tiếp hoặc các đại lượng cơ bản nhất.

3

Lập hệ phương trình

Dựa vào các mối quan hệ trong đề bài, thiết lập hai phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ . Mỗi phương trình biểu diễn một mối quan hệ độc lập.

💡 Cẩn thận chuyển đổi các từ ngữ thành biểu thức toán học chính xác.

4

Giải hệ phương trình

Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để tìm giá trị của $x$ và $y$ .

💡 Chọn phương pháp giải phù hợp để đơn giản hóa quá trình tính toán.

5

Kiểm tra và kết luận

Đối chiếu nghiệm tìm được với các điều kiện đã đặt và với thực tế bài toán. Trả lời đầy đủ câu hỏi của đề bài.

💡 Thử lại các giá trị $x, y$ vào đề bài ban đầu để đảm bảo tính chính xác.

Ví dụ 1/3

Bài toán về số

VÍ DỤ 1 · Bài toán về số

L2

Tổng của hai số là

80

. Nếu tăng số thứ nhất lên

3

lần và số thứ hai lên

2

lần thì tổng mới là

210

. Tìm hai số đó.

Ví dụ 2/3

Bài toán chuyển động

VÍ DỤ 2 · Bài toán chuyển động

L3

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu tăng vận tốc thêm

10 \text{ km/h}

thì đến B sớm hơn

1

giờ. Nếu giảm vận tốc đi

10 \text{ km/h}

thì đến B muộn hơn

1,5

giờ. Tính quãng đường AB.

Ví dụ 3/3

Bài toán năng suất

VÍ DỤ 3 · Bài toán năng suất

L4

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong

12

ngày. Nếu làm riêng, đội A làm nhanh hơn đội B là

10

ngày. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao lâu hoàn thành công việc?

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Tìm các số chưa biết dựa trên tổng, hiệu, tích, thương hoặc các mối quan hệ khác giữa chúng.

1Gọi hai số là $x, y$
2Lập phương trình từ tổng/hiệu
3Lập phương trình từ mối quan hệ khác
4Giải hệ và kiểm tra điều kiện

⚠️ Cẩn thận với thứ tự của các phép toán và các từ ngữ như 'hơn', 'kém', 'gấp'.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là một công cụ mạnh mẽ để mô hình hóa và giải quyết các vấn đề có nhiều yếu tố tương tác trong thế giới thực.

Kinh tế học: Xác định giá và số lượng cân bằng trên thị trường khi biết hàm cung và hàm cầu, hoặc phân bổ nguồn lực để tối ưu hóa lợi nhuận.

Kỹ thuật: Tính toán dòng điện trong mạch điện phức tạp (định luật Kirchhoff), hoặc xác định lực tác dụng lên các cấu trúc trong cơ học.

Hóa học: Giải các bài toán pha trộn dung dịch với nồng độ khác nhau để đạt được nồng độ mong muốn.

Thú vị: Các hệ phương trình đã được sử dụng từ thời cổ đại, với những ví dụ sớm nhất được tìm thấy trong các văn bản toán học của Babylon và Trung Quốc, cho thấy con người đã sớm tìm cách mô tả và giải quyết các vấn đề phức tạp bằng phương pháp đại số.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Hai kho hàng có tất cả 113 sản phẩm. Kho thứ nhất nhiều hơn kho thứ hai 27 sản phẩm. Hỏi kho thứ nhất có bao nhiêu sản phẩm?

2

Hai kho hàng có tất cả 125 sản phẩm. Kho thứ nhất nhiều hơn kho thứ hai 35 sản phẩm. Hỏi kho thứ hai có bao nhiêu sản phẩm?

3

Hai kho hàng có tất cả 245 sản phẩm. Kho thứ nhất nhiều hơn kho thứ hai 57 sản phẩm. Hỏi kho thứ nhất có bao nhiêu sản phẩm?

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)