Định lí Viète là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta tìm mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) mà không cần giải trực tiếp. Điều kiện tiên quyết để áp dụng định lí này là phương trình phải có nghiệm thực, nghĩa là biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac \ge 0$. Nếu $\Delta < 0$, phương trình vô nghiệm trên tập số thực.

Nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, thì theo Định lí Viète, ta có: Tổng hai nghiệm: $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ Tích hai nghiệm: $P = x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ Trong đó, $a, b, c$ là các hệ số của phương trình.

Khi áp dụng Định lí Viète, ta cần lưu ý một số trường hợp đặc biệt:

• Nếu $a+b+c=0$, phương trình có nghiệm $x_1=1$ và $x_2=\frac{c}{a}$.
• Nếu $a-b+c=0$, phương trình có nghiệm $x_1=-1$ và $x_2=-\frac{c}{a}$.
• Nếu $P = \frac{c}{a} < 0$, hai nghiệm trái dấu.
• Nếu $P = \frac{c}{a} > 0$, hai nghiệm cùng dấu.

Định lí Viète rất hữu ích trong việc giải các bài toán tìm tham số hoặc tính giá trị biểu thức liên quan đến nghiệm. Ví dụ, ta có thể tìm $m$ để phương trình có nghiệm thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 5$. Ta biết $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = S^2 - 2P$. Từ đó, ta thay $S = -\frac{b}{a}$ và $P = \frac{c}{a}$ vào để tìm $m$.