MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Định nghĩa và Công thức Tổng hai lập phương

Tổng hai lập phương là một hằng đẳng thức cho phép biến đổi biểu thức $a^3 + b^3$ thành tích của hai nhân tử. Công thức là: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ . Trong đó, $a$ và $b$ là hai biểu thức, $(a+b)$ là tổng của chúng, và $(a^2 - ab + b^2)$ được gọi là bình phương thiếu của một hiệu. Lưu ý dấu trừ ở hạng tử $ab$ .

Đâu là công thức đúng cho tổng hai lập phương?

Mạch 2/4

Định nghĩa và Công thức Hiệu hai lập phương

Tương tự, hiệu hai lập phương cho phép biến đổi biểu thức $a^3 - b^3$ thành tích. Công thức là: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ . Ở đây, $(a-b)$ là hiệu của hai biểu thức, và $(a^2 + ab + b^2)$ là bình phương thiếu của một tổng. Hãy chú ý dấu cộng ở hạng tử $ab$ .

Công thức đúng cho hiệu hai lập phương là gì?

Mạch 3/4

Nhận biết và Áp dụng

Để áp dụng các công thức này, trước hết cần nhận dạng được các biểu thức có dạng lập phương. Ví dụ, $8x^3$ có thể viết là $(2x)^3$ , $27$ là $3^3$ . Các hằng đẳng thức này rất hữu ích để phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn biểu thức, giúp giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

Biểu thức $27y^3$ có thể viết dưới dạng lập phương của một biểu thức là:

Mạch 4/4

Ví dụ áp dụng

Hãy phân tích đa thức $x^3 + 8$ thành nhân tử. Ta nhận thấy $x^3$ là lập phương của $x$ , và $8$ là lập phương của $2$ (vì $2^3 = 8$ ). Áp dụng công thức tổng hai lập phương với $a=x$ và $b=2$ : $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2) = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$ .

Phân tích đa thức $x^3 - 1$ thành nhân tử, ta được:

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Công thức tổng hai lập phương: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ .
Công thức hiệu hai lập phương: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ .
Lưu ý dấu trong tam thức bậc hai: $(a^2 - ab + b^2)$ cho tổng, $(a^2 + ab + b^2)$ cho hiệu.
Nhận dạng $a^3$ và $b^3$ là bước đầu tiên để áp dụng công thức.
Đây là công cụ quan trọng để phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn biểu thức.

Lỗi hay gặp

Nhầm lẫn dấu của thành phần $ab$ trong tam thức bậc hai. Ví dụ, viết $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 + ab + b^2)$ .
Sửa: Hãy nhớ quy tắc "cùng dấu, khác dấu": Với tổng $a^3+b^3$ , nhân tử $(a+b)$ có dấu cộng, còn tam thức $(a^2-ab+b^2)$ có dấu trừ ở $ab$ . Với hiệu $a^3-b^3$ , nhân tử $(a-b)$ có dấu trừ, còn tam thức $(a^2+ab+b^2)$ có dấu cộng ở $ab$ .
Nhầm lẫn giữa $(a+b)^3$ và $a^3+b^3$ .
Sửa: $(a+b)^3$ là lập phương của một tổng, khai triển ra là $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ . Còn $a^3+b^3$ là tổng của hai lập phương, được phân tích thành $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ . Hai biểu thức này hoàn toàn khác nhau.
Xác định sai $a$ hoặc $b$ khi chúng là một biểu thức. Ví dụ, khi phân tích $8x^3+1$ , xác định $a=8x$ và $b=1$ thay vì $a=2x$ và $b=1$ .
Sửa: Luôn viết lại biểu thức dưới dạng $(...)^3 \pm (...)^3$ một cách rõ ràng trước khi áp dụng công thức. Ví dụ, $8x^3+1 = (2x)^3 + 1^3$ .

Quy trình

Quy trình giải

1

Nhận dạng dạng bài

Xác định xem biểu thức có dạng tổng ( $A^3 + B^3$ ) hay hiệu ( $A^3 - B^3$ ) của hai lập phương hay không. Đôi khi cần đặt nhân tử chung trước.

💡 Kiểm tra các số hạng xem có thể viết dưới dạng lập phương của một biểu thức nào đó không (ví dụ: $8x^3 = (2x)^3$ , $27 = 3^3$ ).

2

Xác định $A$ và $B$

Viết lại biểu thức dưới dạng $(...)^3 \pm (...)^3$ để tìm chính xác $A$ và $B$ là các biểu thức nào.

💡 Hãy cẩn thận với các biểu thức phức tạp cho $A$ hoặc $B$ (ví dụ: $(x+y)^3$ ).

3

Chọn công thức

Áp dụng đúng công thức tổng hai lập phương ( $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ ) hoặc hiệu hai lập phương ( $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ ).

💡 Ghi nhớ quy tắc dấu của thành phần $ab$ trong nhân tử bậc hai: ngược dấu với dấu của tổng/hiệu ban đầu.

4

Thay thế và tính toán

Thay các biểu thức $A$ và $B$ đã xác định vào công thức và thực hiện các phép tính trong các nhân tử (ví dụ: bình phương, nhân).

💡 Thực hiện phép tính cẩn thận, đặc biệt với các dấu và các hệ số.

5

Kiểm tra kết quả

Đảm bảo biểu thức đã được phân tích hoàn chỉnh và không còn nhân tử chung nào khác trong các nhân tử vừa tìm được.

💡 Có thể nhân ngược lại các nhân tử để kiểm tra xem có ra biểu thức ban đầu không.

Ví dụ 1/3

Phân tích đa thức thành nhân tử (dạng tổng)

VÍ DỤ 1 · Phân tích đa thức thành nhân tử (dạng tổng)

L2

Phân tích đa thức

x^3 + 64

thành nhân tử.

Ví dụ 2/3

Phân tích đa thức thành nhân tử (dạng hiệu)

VÍ DỤ 2 · Phân tích đa thức thành nhân tử (dạng hiệu)

L2

Phân tích đa thức

8y^3 - 125

thành nhân tử.

Ví dụ 3/3

Phân tích đa thức (kết hợp)

VÍ DỤ 3 · Phân tích đa thức (kết hợp)

L3

Phân tích đa thức

x^4 + x

thành nhân tử.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dùng trực tiếp công thức tổng hoặc hiệu hai lập phương để biến đổi một đa thức có dạng $A^3 \pm B^3$ thành tích của các nhân tử.

1Nhận dạng dạng $A^3 \pm B^3$
2Xác định biểu thức $A$ và $B$
3Áp dụng công thức phù hợp
4Thực hiện phép tính và rút gọn

⚠️ Luôn kiểm tra xem có thể đặt nhân tử chung trước khi áp dụng công thức không.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Các hằng đẳng thức đại số, bao gồm tổng và hiệu hai lập phương, là công cụ nền tảng trong toán học, giúp đơn giản hóa các bài toán phức tạp trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

Kỹ thuật (Engineering): Trong thiết kế hệ thống điều khiển hoặc phân tích tín hiệu, việc rút gọn các biểu thức đa thức có thể giúp tối ưu hóa hiệu suất hoặc đơn giản hóa mô hình toán học.

Khoa học máy tính (Computer Science): Trong phát triển thuật toán, việc phân tích và tối ưu hóa các biểu thức đại số có thể dẫn đến các thuật toán hiệu quả hơn về thời gian và bộ nhớ.

Thú vị: Các hằng đẳng thức đáng nhớ, bao gồm tổng và hiệu hai lập phương, đã được các nhà toán học cổ đại như Euclid biết đến dưới dạng hình học, mô tả mối quan hệ giữa các thể tích khối lập phương.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Phân tích $x^3 + 216$ thành nhân tử dạng $(x + 6)(\ldots)$ . Thừa số còn lại là:

2

Phân tích $x^3 + 125$ thành nhân tử dạng $(x + 5)(\ldots)$ . Thừa số còn lại là:

3

Phân tích $x^3 + 27$ thành nhân tử dạng $(x + 3)(\ldots)$ . Thừa số còn lại là:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)