MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Định nghĩa Phân thức đại số

Phân thức đại số là một biểu thức hữu tỉ có dạng $\frac{A}{B}$ , trong đó $A$ là tử thức và $B$ là mẫu thức. Cả $A$ và $B$ đều là các đa thức, với điều kiện quan trọng là mẫu thức $B$ phải khác đa thức $0$ . Phân thức này biểu diễn một tỉ lệ giữa hai đa thức.

Phân thức đại số $\frac{A}{B}$ có điều kiện gì?

Mạch 2/4

Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ được coi là bằng nhau, ký hiệu $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ , nếu tích của tử thức phân thức thứ nhất và mẫu thức phân thức thứ hai bằng tích của mẫu thức phân thức thứ nhất và tử thức phân thức thứ hai. Tức là $A \cdot D = B \cdot C$ . Điều kiện này áp dụng khi các mẫu thức $B$ và $D$ đều khác $0$ .

Cho hai phân thức $\frac{2}{x}$ và $\frac{4}{y}$ . Để hai phân thức này bằng nhau, điều kiện là gì?

Mạch 3/4

Tính chất 1: Nhân tử và mẫu

Tính chất cơ bản thứ nhất cho phép ta nhân cả tử thức và mẫu thức của một phân thức với cùng một đa thức $M$ khác đa thức $0$ . Phân thức mới thu được sẽ bằng phân thức ban đầu. Công thức: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M}$ (với $M \ne 0$ ). Tính chất này thường dùng để quy đồng mẫu thức.

Áp dụng tính chất 1, phân thức $\frac{x}{y}$ có thể viết lại thành dạng nào sau đây (với $M \ne 0$ )?

Mạch 4/4

Tính chất 2: Chia tử và mẫu

Tính chất cơ bản thứ hai cho phép ta chia cả tử thức và mẫu thức của một phân thức cho cùng một nhân tử chung $N$ khác đa thức $0$ . Phân thức mới thu được sẽ bằng phân thức ban đầu. Công thức: $\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ (với $N$ là nhân tử chung và $N \ne 0$ ). Tính chất này thường dùng để rút gọn phân thức.

Phân thức $\frac{x^2-4}{x-2}$ có thể rút gọn thành dạng nào?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Phân thức đại số là biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ , với $A, B$ là đa thức và $B \ne 0$ .
Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ bằng nhau nếu $A \cdot D = B \cdot C$ (với $B, D \ne 0$ ).
Có thể nhân cả tử và mẫu của phân thức với cùng một đa thức $M \ne 0$ : $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M}$ .
Có thể chia cả tử và mẫu của phân thức cho cùng một nhân tử chung $N \ne 0$ : $\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ .
Các tính chất này dùng để rút gọn phân thức và quy đồng mẫu thức.

Lỗi hay gặp

Rút gọn sai khi tử và mẫu không có nhân tử chung hoặc rút gọn các số hạng riêng lẻ. Ví dụ: $\frac{x+1}{x}$ rút gọn thành $1$ .
Sửa: Chỉ được rút gọn khi tử và mẫu có nhân tử chung. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử trước khi rút gọn. $\frac{x+1}{x}$ không thể rút gọn.
Quên điều kiện xác định của phân thức khi biến đổi. Ví dụ: $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$ mà không nêu điều kiện $x \ne 1$ .
Sửa: Luôn xác định điều kiện để mẫu thức khác $0$ trước và sau khi biến đổi. Khi rút gọn, các nhân tử chung bị triệt tiêu cần được ghi nhớ điều kiện khác $0$ của chúng.
Nhân hoặc chia cả tử và mẫu với một đa thức bằng $0$ . Ví dụ: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot 0}{B \cdot 0}$ .
Sửa: Theo định nghĩa, đa thức $M$ (khi nhân) hoặc nhân tử chung $N$ (khi chia) phải là đa thức khác $0$ để đảm bảo giá trị phân thức không đổi và mẫu thức không bằng $0$ .

Quy trình

Quy trình giải

1

Xác định phân thức

Nhận diện các phân thức cần xử lý và xác định tử thức ( $A$ ) và mẫu thức ( $B$ ) của chúng. Đảm bảo mẫu thức $B \ne 0$ .

2

Tìm điều kiện xác định

Xác định các giá trị của biến để mẫu thức của tất cả các phân thức khác $0$ . Đây là bước quan trọng để đảm bảo tính hợp lệ của các phép biến đổi.

3

Phân tích tử và mẫu

Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử (nếu có thể) để tìm các nhân tử chung hoặc xác định mẫu thức chung nhỏ nhất. Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học.

4

Áp dụng tính chất

Tùy thuộc vào yêu cầu (rút gọn, quy đồng, kiểm tra bằng nhau), áp dụng tính chất cơ bản: nhân/chia cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác $0$ hoặc sử dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau.

5

Kiểm tra và kết luận

Kiểm tra lại các bước tính toán và ghi rõ kết quả cuối cùng cùng với điều kiện xác định (nếu có). Đảm bảo phân thức đã được rút gọn về dạng đơn giản nhất hoặc đã được quy đồng đúng.

Ví dụ 1/3

Kiểm tra hai phân thức bằng nhau

VÍ DỤ 1 · Kiểm tra hai phân thức bằng nhau

L2

Kiểm tra xem hai phân thức

\frac{x^2-4}{x-2}

và

x+2

có bằng nhau không?

Ví dụ 2/3

Rút gọn phân thức

VÍ DỤ 2 · Rút gọn phân thức

L2

Rút gọn phân thức

\frac{3x^2y}{6xy^2}

(với

x \ne 0, y \ne 0

).

Ví dụ 3/3

Quy đồng mẫu thức

VÍ DỤ 3 · Quy đồng mẫu thức

L3

Quy đồng mẫu thức hai phân thức

\frac{1}{x+1}

và

\frac{x}{x^2-1}

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Xác định xem hai phân thức có giá trị bằng nhau hay không.

1Viết hai phân thức dạng $\frac{A}{B}, \frac{C}{D}$
2Tìm điều kiện xác định
3Tính tích chéo $A \cdot D$ và $B \cdot C$
4So sánh hai tích chéo
5Kết luận

⚠️ Đảm bảo mẫu thức khác $0$ khi so sánh.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Các tính chất của phân thức được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực để mô hình hóa và giải quyết các vấn đề liên quan đến tỉ lệ, tốc độ, hoặc các mối quan hệ phụ thuộc phức tạp.

Vật lý: Trong vật lý, công thức tính điện trở tương đương của hai điện trở mắc song song là

\frac{1}{R_{tđ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}

. Để tính

R_{tđ}

, ta cần quy đồng mẫu thức các phân thức ở vế phải.

Kỹ thuật: Trong kỹ thuật, các công thức tính hiệu suất, tỉ lệ pha trộn hóa chất, hoặc tỉ lệ truyền động của bánh răng thường được biểu diễn dưới dạng phân thức, và việc rút gọn hay quy đồng giúp đơn giản hóa các tính toán.

Thú vị: Khái niệm phân thức đại số là sự mở rộng tự nhiên của phân số số học, cho phép chúng ta thực hiện các phép toán tương tự trên các biểu thức chứa biến số.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Điền vào chỗ trống: $\frac{5}{x} = \frac{5\cdot5}{?}$ . Kết quả ở dấu $?$ là:

2

Điền vào chỗ trống: $\frac{5}{x} = \frac{5\cdot3}{?}$ . Kết quả ở dấu $?$ là:

3

Điền vào chỗ trống: $\frac{7}{x} = \frac{7\cdot4}{?}$ . Kết quả ở dấu $?$ là:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)