Phân thức đại số có dạng $\frac{A}{B}$, với $A, B$ là các đa thức và $B \neq 0$. Đây là khái niệm mở rộng của phân số thông thường. Việc hiểu rõ cấu trúc này là nền tảng để thực hiện các phép toán nhân và chia phân thức, tương tự như với phân số số học.

Để nhân hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$, ta nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với nhau: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$. Luôn ưu tiên phân tích các đa thức thành nhân tử trước khi nhân để có thể rút gọn, giúp kết quả đơn giản hơn.

Các bước nhân phân thức gồm: 1. Đặt điều kiện xác định cho các mẫu thức. 2. Phân tích tử và mẫu của các phân thức thành nhân tử. 3. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu. 4. Rút gọn kết quả (nếu có thể). Ví dụ: $\frac{2x}{3y} \cdot \frac{y}{4x^2} = \frac{2x \cdot y}{3y \cdot 4x^2} = \frac{2xy}{12x^2y} = \frac{1}{6x}$.

Chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho $\frac{C}{D}$ ($\frac{C}{D} \neq 0$) bằng cách nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$, tức là $\frac{D}{C}$. Công thức: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$. Điều kiện là $B \neq 0, D \neq 0, C \neq 0$.

Các bước chia phân thức: 1. Đặt điều kiện xác định (mẫu thức khác 0, tử thức của phân thức chia khác 0). 2. Viết phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo. 3. Phân tích nhân tử, thực hiện phép nhân và rút gọn. Ví dụ: $\frac{x^2}{y} : \frac{x}{y^2} = \frac{x^2}{y} \cdot \frac{y^2}{x} = \frac{x^2 y^2}{xy} = xy$.