MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/3

1. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng $(A+B)$ được định nghĩa là $(A+B) \times (A+B) \times (A+B)$ . Khi khai triển, ta có hằng đẳng thức: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ Công thức này giúp tính nhanh lập phương của một tổng, với $A$ là số hạng thứ nhất và $B$ là số hạng thứ hai. Các em cần nhớ thứ tự và hệ số của từng hạng tử.

Khai triển biểu thức $(x+2)^3$ ta được:

Mạch 2/3

2. Lập phương của một hiệu

Tương tự như lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu $(A-B)$ được định nghĩa là $(A-B) \times (A-B) \times (A-B)$ . Hằng đẳng thức khai triển là: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$ Lưu ý sự thay đổi về dấu của các hạng tử so với công thức lập phương của một tổng. Dấu của các hạng tử xen kẽ: cộng, trừ, cộng, trừ.

Khai triển biểu thức $(y-1)^3$ ta được:

Mạch 3/3

3. So sánh và áp dụng

Hai hằng đẳng thức $(A+B)^3$ và $(A-B)^3$ rất giống nhau, chỉ khác nhau ở dấu của các hạng tử. Cụ thể, trong khai triển $(A-B)^3$ , các hạng tử mang dấu trừ là hạng tử thứ hai và thứ tư. Việc nắm vững hai công thức này giúp rút gọn biểu thức và giải các bài toán liên quan hiệu quả.

Trong khai triển $(A-B)^3$ , hạng tử thứ hai có dấu là:

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Lập phương của một tổng: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ .
Lập phương của một hiệu: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$ .
Các công thức này là hằng đẳng thức, đúng với mọi giá trị của $A$ và $B$ .

Lỗi hay gặp

Nhầm lẫn giữa lập phương của một tổng/hiệu với tổng/hiệu các lập phương: Ví dụ, $(A+B)^3 \neq A^3 + B^3$ .
Sửa: Luôn nhớ rằng hằng đẳng thức lập phương của một tổng/hiệu có bốn hạng tử, không chỉ hai. Các hạng tử ở giữa là $3A^2B$ và $3AB^2$ (hoặc $-3A^2B$ và $3AB^2$ ).
Sai dấu khi khai triển lập phương của một hiệu: Ví dụ, viết $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B - 3AB^2 - B^3$ .
Sửa: Ghi nhớ quy tắc dấu xen kẽ cho lập phương của một hiệu: $A^3$ (dương), $-3A^2B$ (âm), $+3AB^2$ (dương), $-B^3$ (âm).
Quên hệ số $3$ ở các hạng tử giữa: Ví dụ, viết $(A+B)^3 = A^3 + A^2B + AB^2 + B^3$ .
Sửa: Hệ số $3$ là một phần không thể thiếu của công thức. Hãy kiểm tra lại công thức gốc và đảm bảo không bỏ sót các hệ số này.

Quy trình

Quy trình giải

Bước 1

Xác định dạng

Kiểm tra xem biểu thức cần khai triển có dạng lập phương của một tổng $(A+B)^3$ hay lập phương của một hiệu $(A-B)^3$ .

Bước 2

Xác định $A$ và $B$

Phân tích biểu thức để xác định rõ đâu là $A$ (số hạng thứ nhất) và đâu là $B$ (số hạng thứ hai).

Bước 3

Áp dụng công thức

Thay các giá trị của $A$ và $B$ vào công thức hằng đẳng thức tương ứng: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ hoặc $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$ .

💡 Đặc biệt chú ý đến dấu của các hạng tử khi áp dụng công thức lập phương của một hiệu.

Bước 4

Thực hiện phép tính

Tính toán các lũy thừa và phép nhân trong từng hạng tử của biểu thức đã khai triển.

Bước 5

Rút gọn

Thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có) để nhận được kết quả cuối cùng ở dạng đơn giản nhất.

Ví dụ 1/3

Khai triển lập phương của một tổng

VÍ DỤ 1 · Khai triển lập phương của một tổng

L2

Khai triển biểu thức

(x+3)^3

.

Ví dụ 2/3

Khai triển lập phương của một hiệu

VÍ DỤ 2 · Khai triển lập phương của một hiệu

L2

Khai triển biểu thức

(2y-1)^3

.

Ví dụ 3/3

Rút gọn biểu thức sử dụng hằng đẳng thức

VÍ DỤ 3 · Rút gọn biểu thức sử dụng hằng đẳng thức

L3

Rút gọn biểu thức

P = (x+1)^3 - (x-1)^3 - 6x^2

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Mở rộng một biểu thức có dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu thành một đa thức.

1Nhận dạng dạng hằng đẳng thức
2Xác định $A$ và $B$
3Áp dụng công thức
4Thực hiện phép tính
5Rút gọn biểu thức

⚠️ Cẩn thận với dấu và hệ số $3$ khi khai triển.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Mặc dù không có ứng dụng trực tiếp, rõ ràng trong đời sống hàng ngày, các hằng đẳng thức lập phương là nền tảng quan trọng trong kỹ thuật và khoa học máy tính để đơn giản hóa các phương trình phức tạp.

Kỹ thuật: Trong kỹ thuật, các công thức này có thể được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức đại số xuất hiện trong các mô hình tính toán thể tích, diện tích bề mặt của các cấu trúc phức tạp hoặc trong các công thức vật lý và cơ học.

Khoa học máy tính: Trong lập trình và thuật toán, việc tối ưu hóa biểu thức đại số bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức giúp giảm số lượng phép tính, từ đó cải thiện hiệu suất của chương trình, đặc biệt trong các thuật toán liên quan đến đồ họa 3D hoặc xử lý dữ liệu lớn.

Thú vị: Các hằng đẳng thức lập phương là một phần của tổng quát hơn, được gọi là công thức nhị thức Newton, cho phép khai triển $(A+B)^n$ với mọi số mũ nguyên dương $n$ .

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Trong khai triển $(x + 6)^3$ , hệ số của $x^2$ là bao nhiêu?

2

Trong khai triển $(x + 13)^3$ , hạng tử tự do (không chứa $x$ ) là:

3

Trong khai triển $(x - 5)^3$ , hạng tử tự do (không chứa $x$ ) là:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)