ThoátLý thuyếtHai tam giác đồng dạng Công cụ
1/12

Trang 1: Định nghĩa và Kí hiệu hai tam giác đồng dạng

Mạch 1/4

Định nghĩa và Kí hiệu hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác △ABC\triangle ABC và △A′B′C′\triangle A'B'C' được gọi là đồng dạng nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Kí hiệu là △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'. Điều này có nghĩa là ∠A=∠A′\angle A = \angle A', ∠B=∠B′\angle B = \angle B', ∠C=∠C′\angle C = \angle C' và A′B′AB=B′C′BC=C′A′CA=k\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} = k. Tỉ số kk gọi là tỉ số đồng dạng. Nếu k=1k=1, hai tam giác đó bằng nhau.

Cho △ABC∼△DEF \triangle ABC \sim \triangle DEF . Nếu ∠A=70∘ \angle A = 70^\circ và ∠B=50∘ \angle B = 50^\circ , thì số đo của ∠F \angle F là bao nhiêu?

Mạch 2/4

Trường hợp đồng dạng Góc - Góc (g.g.)

Đây là trường hợp đơn giản và được sử dụng nhiều nhất để chứng minh hai tam giác đồng dạng. Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc tương ứng của tam giác kia, thì hai tam giác đó đồng dạng. Cụ thể, nếu △ABC\triangle ABC và △A′B′C′\triangle A'B'C' có ∠A=∠A′\angle A = \angle A' và ∠B=∠B′\angle B = \angle B', thì △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'.

Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì được gọi là hai tam giác:

Mạch 3/4

Trường hợp đồng dạng Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c.)

Trường hợp này yêu cầu tỉ lệ của hai cặp cạnh tương ứng và góc xen giữa chúng bằng nhau. Nếu △ABC\triangle ABC và △A′B′C′\triangle A'B'C' có A′B′AB=A′C′AC\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} và ∠A=∠A′\angle A = \angle A', thì △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'. Lưu ý kiểm tra đúng tỉ lệ các cạnh và góc xen giữa.

Để chứng minh △ABC∼△DEF \triangle ABC \sim \triangle DEF theo trường hợp c.g.c., ta cần điều kiện nào sau đây?

Mạch 4/4

Trường hợp đồng dạng Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c.)

Trường hợp này dựa hoàn toàn vào tỉ lệ của ba cặp cạnh tương ứng. Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh tương ứng của tam giác kia, thì hai tam giác đó đồng dạng. Cụ thể, nếu A′B′AB=B′C′BC=C′A′CA\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA}, thì △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'. Đây là điều kiện đủ để kết luận hai tam giác đồng dạng.

Cho △ABC \triangle ABC có cạnh AB=3,BC=4,CA=5 AB=3, BC=4, CA=5 và △DEF \triangle DEF có cạnh DE=6,EF=8,FD=10 DE=6, EF=8, FD=10 . Hai tam giác này đồng dạng theo trường hợp nào?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

  • Định nghĩa: Hai tam giác △ABC \triangle ABC và △A′B′C′ \triangle A'B'C' đồng dạng nếu các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.
  • Kí hiệu: △ABC∼△A′B′C′ \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' .
  • Tỉ số đồng dạng k k : A′B′AB=B′C′BC=C′A′CA=k \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} = k .
  • Ba trường hợp đồng dạng: c.c.c., c.g.c., g.g. (quan trọng nhất là g.g.).
  • Tỉ số chu vi bằng k k , tỉ số diện tích bằng k2 k^2 .

Lỗi hay gặp

Lỗi hay gặp

  • Xác định sai các đỉnh tương ứng khi viết kí hiệu đồng dạng hoặc lập tỉ số các cạnh. Ví dụ, viết △ABC∼△EDF \triangle ABC \sim \triangle EDF thay vì △ABC∼△DEF \triangle ABC \sim \triangle DEF .
    Sửa: Luôn vẽ hình và đánh dấu các góc bằng nhau, các cạnh tương ứng. Khi viết △ABC∼△DEF \triangle ABC \sim \triangle DEF , hãy đảm bảo ∠A=∠D \angle A = \angle D , ∠B=∠E \angle B = \angle E , ∠C=∠F \angle C = \angle F và các cạnh AB,BC,CA AB, BC, CA tương ứng với DE,EF,FD DE, EF, FD .
  • Nhầm lẫn giữa các trường hợp đồng dạng, đặc biệt là trường hợp c.g.c. (cạnh-góc-cạnh) với trường hợp g.g. (góc-góc) hoặc không xác định đúng góc xen giữa.
    Sửa: Hiểu rõ điều kiện của từng trường hợp. Với c.g.c., góc phải nằm giữa hai cạnh tỉ lệ. Với g.g., chỉ cần hai cặp góc bằng nhau là đủ. Trường hợp g.g. thường là dễ nhất để áp dụng.
  • Áp dụng sai tỉ số diện tích hoặc chu vi. Ví dụ, cho rằng tỉ số diện tích bằng tỉ số đồng dạng k k .
    Sửa: Nhớ rằng tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng k k , còn tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng k2 k^2 .

Quy trình

Quy trình giải

1

Đọc đề, vẽ hình

Đọc kỹ yêu cầu bài toán, vẽ hình minh họa (nếu chưa có) một cách chính xác. Ghi chú các thông tin đã cho và thông tin cần tìm trên hình vẽ.

2

Xác định cặp tam giác

Tìm kiếm các cặp tam giác có khả năng đồng dạng. Thường các cặp tam giác này có thể có chung một góc, hoặc có các cạnh song song tạo ra các góc so le trong, đồng vị bằng nhau.

3

Chứng minh đồng dạng

Sử dụng một trong ba trường hợp đồng dạng (c.c.c., c.g.c., g.g.) để chứng minh hai tam giác đã chọn là đồng dạng. Trường hợp g.g. thường là dễ nhất để áp dụng.

4

Lập tỉ số đồng dạng

Sau khi chứng minh được △ABC∼△DEF \triangle ABC \sim \triangle DEF , lập tỉ số các cạnh tương ứng: ABDE=BCEF=CAFD \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} . Đảm bảo các đỉnh tương ứng được sắp xếp đúng thứ tự.

5

Tính toán kết quả

Sử dụng tỉ số đồng dạng đã lập và các giá trị đã biết để tính toán độ dài cạnh, tỉ số, chu vi hoặc diện tích theo yêu cầu của bài toán.

6

Kiểm tra và kết luận

Kiểm tra lại các bước giải và kết quả để đảm bảo tính chính xác và hợp lý. Viết kết luận rõ ràng cho bài toán.

Ví dụ 1/2

Ví dụ 1: Chứng minh đồng dạng và tính độ dài cạnh

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1: Chứng minh đồng dạng và tính độ dài cạnh
L2
Cho △ABC \triangle ABC có AB=6 AB = 6 cm, AC=9 AC = 9 cm, BC=12 BC = 12 cm. Trên cạnh AB AB lấy điểm D D sao cho AD=2 AD = 2 cm. Trên cạnh AC AC lấy điểm E E sao cho AE=3 AE = 3 cm. a) Chứng minh △ADE∼△ABC \triangle ADE \sim \triangle ABC . b) Tính độ dài đoạn thẳng DE DE .
ABCDE

Ví dụ 2/2

Ví dụ 2: Ứng dụng đồng dạng để tìm chiều cao

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2: Ứng dụng đồng dạng để tìm chiều cao
L3
Một người cao 1.6 1.6 m đứng cách cột đèn 5 5 m. Bóng của người đó trên mặt đất dài 2 2 m. Hỏi cột đèn cao bao nhiêu mét?
ABCDE

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dạng toán yêu cầu chứng minh hai tam giác cho trước hoặc hai tam giác được tạo ra từ một hình vẽ là đồng dạng với nhau.

  1. 1Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận.
  2. 2Xác định cặp tam giác cần chứng minh.
  3. 3Tìm các yếu tố bằng nhau (góc) hoặc tỉ lệ (cạnh).
  4. 4Áp dụng trường hợp đồng dạng thích hợp.
  5. 5Kết luận.

⚠️ Ưu tiên trường hợp g.g. nếu có thể tìm được hai cặp góc bằng nhau. Luôn ghi đúng thứ tự các đỉnh tương ứng.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Hai tam giác đồng dạng là một công cụ mạnh mẽ để đo lường gián tiếp và thiết kế, cho phép chúng ta tìm kích thước của các vật thể mà không cần đo trực tiếp.

Kiến trúc và xây dựng: Các kiến trúc sư sử dụng nguyên lý đồng dạng để tạo ra các mô hình thu nhỏ của các tòa nhà hoặc cấu trúc, giúp hình dung và kiểm tra thiết kế trước khi xây dựng thực tế. Tỉ lệ giữa mô hình và công trình thật chính là tỉ số đồng dạng.
Bản đồ và địa lý: Bản đồ là một ví dụ điển hình của sự đồng dạng. Một bản đồ là hình ảnh thu nhỏ của một khu vực địa lý, trong đó các hình dạng trên bản đồ đồng dạng với các hình dạng thực tế trên mặt đất, với tỉ lệ thu nhỏ chính là tỉ số đồng dạng của bản đồ.
Nhiếp ảnh và nghệ thuật: Trong nhiếp ảnh, khi phóng to hoặc thu nhỏ một bức ảnh, các đối tượng trong ảnh mới vẫn đồng dạng với các đối tượng trong ảnh gốc. Các họa sĩ cũng sử dụng nguyên tắc đồng dạng để vẽ lại các vật thể với tỉ lệ khác nhau.

Thú vị: Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Thales được cho là người đầu tiên sử dụng nguyên lý tam giác đồng dạng để đo chiều cao của các kim tự tháp bằng cách so sánh bóng của chúng với bóng của một cây gậy có chiều cao đã biết.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Tam giác ABCABC đồng dạng với tam giác A′B′C′A'B'C'. Biết AB=20AB = 20 cm và cạnh tương ứng A′B′=5A'B' = 5 cm. Tính tỉ số đồng dạng ABA′B′\dfrac{AB}{A'B'}.

2

Tam giác ABCABC đồng dạng với tam giác A′B′C′A'B'C'. Biết AB=18AB = 18 cm và cạnh tương ứng A′B′=6A'B' = 6 cm. Tính tỉ số đồng dạng ABA′B′\dfrac{AB}{A'B'}.

3

Tam giác ABCABC đồng dạng với tam giác A′B′C′A'B'C'. Biết AB=28AB = 28 cm và cạnh tương ứng A′B′=7A'B' = 7 cm. Tính tỉ số đồng dạng ABA′B′\dfrac{AB}{A'B'}.

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)

Luyện tập