MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/3

1. Cộng, trừ phân thức cùng mẫu

Để cộng hoặc trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng hoặc trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức. Điều kiện là mẫu thức phải khác $0$ . Công thức tổng quát là: $\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{A+C}{B}$ và $\frac{A}{B} - \frac{C}{B} = \frac{A-C}{B}$ , với $B \neq 0$ . Đây là bước cơ bản nhất trong phép toán phân thức.

Kết quả của phép tính $\frac{2x}{x+1} + \frac{3}{x+1}$ là:

Mạch 2/3

2. Quy đồng mẫu thức

Khi cộng, trừ các phân thức khác mẫu, bước đầu tiên là quy đồng mẫu thức. Ta cần tìm Mẫu thức chung nhỏ nhất (MTCNN) bằng cách phân tích các mẫu thức thành nhân tử. Sau đó, nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ thích hợp để các phân thức có cùng MTCNN.

Để quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{1}{2x}$ và $\frac{1}{3y}$ , MTCNN là:

Mạch 3/3

3. Cộng, trừ phân thức khác mẫu

Sau khi quy đồng mẫu thức, ta thực hiện phép cộng hoặc trừ như với phân thức cùng mẫu. Cuối cùng, rút gọn phân thức kết quả nếu có thể. Ví dụ: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{y+x}{xy}$ . Luôn nhớ điều kiện mẫu thức khác $0$ .

Kết quả của phép tính $\frac{x}{2} - \frac{y}{3}$ sau khi quy đồng là:

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Cùng mẫu: $\frac{A}{B} \pm \frac{C}{B} = \frac{A \pm C}{B}$
Khác mẫu: Quy đồng mẫu thức trước khi cộng/trừ.
Tìm Mẫu thức chung nhỏ nhất (MTCNN) bằng cách phân tích mẫu thành nhân tử.
Luôn rút gọn phân thức kết quả cuối cùng (nếu có thể).
Đảm bảo các mẫu thức luôn khác $0$ .

Lỗi hay gặp

Sai dấu khi trừ một đa thức: Học sinh thường quên đổi dấu tất cả các hạng tử trong tử thức của phân thức bị trừ. Ví dụ: $\frac{A}{B} - \frac{C+D}{B} \neq \frac{A-C+D}{B}$ .
Sửa: Luôn đặt tử thức của phân thức bị trừ trong ngoặc đơn sau dấu trừ. Ví dụ: $\frac{A}{B} - \frac{C+D}{B} = \frac{A-(C+D)}{B} = \frac{A-C-D}{B}$ .
Không tìm đúng Mẫu thức chung nhỏ nhất (MTCNN): Dẫn đến quy đồng sai hoặc kết quả không gọn nhất. Ví dụ: MTCNN của $x^2-1$ và $x+1$ là $(x-1)(x+1)$ , không phải $x^2-1$ nếu chỉ dùng $x+1$ làm nhân tử phụ.
Sửa: Luôn phân tích kỹ các mẫu thức thành nhân tử trước khi tìm MTCNN. MTCNN là tích của các nhân tử chung và riêng với số mũ lớn nhất.
Quên nhân tử thức với nhân tử phụ tương ứng khi quy đồng mẫu thức. Ví dụ: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A}{MTCNN} + \frac{C}{MTCNN}$ (chỉ nhân mẫu).
Sửa: Khi nhân mẫu thức với một nhân tử phụ để có MTCNN, phải nhân cả tử thức với nhân tử phụ đó để đảm bảo giá trị của phân thức không đổi. Tức là $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot E}{B \cdot E}$ .

Quy trình

Quy trình giải

1

Kiểm tra mẫu thức

Xác định xem các phân thức cần cộng/trừ có cùng mẫu thức hay không. Nếu có, chuyển sang bước 5.

2

Phân tích mẫu thức

Nếu mẫu thức khác nhau, hãy phân tích mỗi mẫu thức thành nhân tử (nếu có thể) để chuẩn bị cho việc tìm MTCNN.

💡 Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc phương pháp đặt nhân tử chung.

3

Tìm MTCNN

Xác định Mẫu thức chung nhỏ nhất (MTCNN) của tất cả các mẫu thức đã được phân tích. MTCNN là tích của các nhân tử chung và riêng với số mũ cao nhất.

4

Quy đồng mẫu thức

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ thích hợp để mẫu thức của chúng trở thành MTCNN.

💡 Đảm bảo nhân đúng cả tử và mẫu để giá trị phân thức không đổi.

5

Cộng/trừ tử thức

Thực hiện phép cộng hoặc trừ các tử thức của các phân thức đã quy đồng, giữ nguyên mẫu thức chung. Cẩn thận với dấu trừ khi trừ đa thức.

💡 Luôn đặt tử thức bị trừ trong ngoặc đơn sau dấu trừ.

6

Rút gọn kết quả

Kiểm tra xem phân thức kết quả có thể rút gọn được nữa hay không bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử và loại bỏ các nhân tử chung.

Ví dụ 1/3

Cộng hai phân thức cùng mẫu

VÍ DỤ 1 · Cộng hai phân thức cùng mẫu

L2

Thực hiện phép cộng sau:

\frac{2x+1}{x-1} + \frac{x-2}{x-1}

(với

x \neq 1

).

Ví dụ 2/3

Trừ hai phân thức khác mẫu (đơn giản)

VÍ DỤ 2 · Trừ hai phân thức khác mẫu (đơn giản)

L3

Thực hiện phép trừ sau:

\frac{3}{x+1} - \frac{2}{x-1}

(với

x \neq \pm 1

).

Ví dụ 3/3

Cộng phân thức khác mẫu (phân tích mẫu)

VÍ DỤ 3 · Cộng phân thức khác mẫu (phân tích mẫu)

L3

Thực hiện phép cộng sau:

\frac{x}{x^2-4} + \frac{2}{x+2}

(với

x \neq \pm 2

).

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dạng bài tập cơ bản nhất, các phân thức đã có sẵn mẫu thức giống nhau.

1Kiểm tra mẫu thức
2Cộng/trừ tử thức
3Giữ nguyên mẫu
4Rút gọn kết quả

⚠️ Cẩn thận với dấu khi trừ các đa thức ở tử.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Phép cộng và trừ phân thức được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật để kết hợp hoặc so sánh các đại lượng phụ thuộc vào biến số.

Vật lý (Điện học): Khi tính tổng trở tương đương của các điện trở mắc song song, công thức thường có dạng phân thức. Ví dụ, hai điện trở

R_1, R_2

mắc song song có tổng trở tương đương

R_{eq} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}

. Để tính

R_{eq}

, ta cần cộng hai phân thức

\frac{1}{R_1}

và

\frac{1}{R_2}

.

Kinh tế học: Trong kinh tế, các hàm chi phí trung bình, doanh thu trung bình thường được biểu diễn dưới dạng phân thức. Việc cộng hoặc trừ các hàm này giúp phân tích sự thay đổi của các yếu tố kinh tế khi kết hợp các hoạt động sản xuất hoặc dịch vụ khác nhau.

Thú vị: Khái niệm phân thức đại số và các phép toán trên chúng đã được các nhà toán học Ả Rập phát triển từ thế kỷ thứ 9, góp phần đặt nền móng cho đại số hiện đại.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Thực hiện phép tính: $\dfrac{x - 3}{x + 5} + \dfrac{2x - 4}{x + 5}$ .

2

Thực hiện phép tính: $\dfrac{2x + 3}{x + 2} + \dfrac{3x + 6}{x + 2}$ .

3

Thực hiện phép tính: $\dfrac{2x - 5}{x - 1} + \dfrac{6x - 5}{x - 1}$ .

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)