MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/3

Khái niệm và Thu gọn đa thức

Đa thức là tổng của các đơn thức. Mỗi đơn thức là một hạng tử. Trước khi cộng, trừ đa thức, ta cần thu gọn chúng. Hai đơn thức đồng dạng nếu có cùng phần biến với số mũ tương ứng. Ví dụ, $3x^2y$ và $-5x^2y$ là đơn thức đồng dạng. Để thu gọn, ta nhóm các đơn thức đồng dạng và cộng (trừ) hệ số của chúng.

Đâu là cặp đơn thức đồng dạng?

Mạch 2/3

Phép cộng đa thức

Để cộng hai đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ , ta thực hiện các bước: Viết $P(x) + Q(x)$ , bỏ dấu ngoặc (giữ nguyên dấu), nhóm các đơn thức đồng dạng, rồi cộng các hệ số của chúng. Ví dụ: $(3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 5x + 4) = 3x^2 + 2x - 1 + x^2 - 5x + 4 = (3x^2 + x^2) + (2x - 5x) + (-1 + 4) = 4x^2 - 3x + 3$ . Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp.

Kết quả của phép cộng $(x^2 + 2x) + (3x^2 - x)$ là:

Mạch 3/3

Phép trừ đa thức

Để trừ đa thức $Q(x)$ cho đa thức $P(x)$ , ta viết $P(x) - Q(x)$ . Khi bỏ dấu ngoặc của $Q(x)$ (có dấu trừ đằng trước), ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử của $Q(x)$ . Sau đó, nhóm các đơn thức đồng dạng và cộng hệ số. Ví dụ: $(3x^2 + 2x - 1) - (x^2 - 5x + 4) = 3x^2 + 2x - 1 - x^2 + 5x - 4 = (3x^2 - x^2) + (2x + 5x) + (-1 - 4) = 2x^2 + 7x - 5$ . Phép trừ không có tính chất giao hoán và kết hợp.

Kết quả của phép trừ $(5x^2 - 3x + 1) - (2x^2 + x - 2)$ là:

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Thu gọn từng đa thức trước khi thực hiện phép cộng hoặc trừ nếu đa thức chưa thu gọn.
Khi cộng đa thức, ta nhóm các đơn thức đồng dạng và cộng các hệ số của chúng, giữ nguyên phần biến.
Khi trừ đa thức, ta chuyển phép trừ thành phép cộng với đa thức đối của đa thức bị trừ (đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức bị trừ), sau đó thực hiện phép cộng.
Phép cộng đa thức có tính chất giao hoán và kết hợp.
Luôn kiểm tra lại dấu của các hạng tử, đặc biệt khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đằng trước.

Lỗi hay gặp

Không đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức bị trừ khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đằng trước. Ví dụ: $(2x^2 + 3x) - (x^2 - x)$ bị viết thành $2x^2 + 3x - x^2 - x$ .
Sửa: Nhớ rằng dấu trừ trước ngoặc sẽ làm thay đổi dấu của MỌI hạng tử bên trong ngoặc. Hãy viết lại phép trừ thành phép cộng với đa thức đối: $P(x) - Q(x) = P(x) + (-Q(x))$ , trong đó $-Q(x)$ là đa thức có các hạng tử đã đổi dấu.
Cộng hoặc trừ các đơn thức không đồng dạng. Ví dụ: $3x^2 + 2x$ bị cộng thành $5x^3$ hoặc $5x^2$ .
Sửa: Chỉ các đơn thức có cùng phần biến (cùng biến và cùng số mũ) mới được cộng hoặc trừ hệ số. Luôn kiểm tra kỹ phần biến trước khi thực hiện phép tính.
Bỏ sót hạng tử hoặc nhầm lẫn dấu của hạng tử khi thu gọn đa thức hoặc trong quá trình nhóm các đơn thức đồng dạng.
Sửa: Sử dụng bút chì gạch chân hoặc đánh dấu các đơn thức đã nhóm để đảm bảo không bỏ sót và kiểm tra lại dấu của từng hạng tử sau mỗi bước biến đổi.

Quy trình

Quy trình giải

Bước 1

Thu gọn đa thức (nếu cần)

Kiểm tra xem các đa thức đã cho có cần thu gọn trước khi thực hiện phép tính hay không. Nếu có, hãy nhóm các đơn thức đồng dạng và cộng (hoặc trừ) các hệ số của chúng.

💡 Việc thu gọn trước giúp giảm số lượng hạng tử, làm cho các bước sau đơn giản hơn.

Bước 2

Đặt phép tính

Viết các đa thức trong dấu ngoặc, đặt dấu cộng hoặc trừ giữa chúng tùy theo yêu cầu của bài toán (ví dụ: $(P(x)) + (Q(x))$ hoặc $(P(x)) - (Q(x))$ ).

💡 Luôn đặt đa thức trong ngoặc để tránh nhầm lẫn dấu.

Bước 3

Bỏ dấu ngoặc

Bỏ dấu ngoặc: nếu trước ngoặc là dấu cộng, giữ nguyên dấu các hạng tử; nếu trước ngoặc là dấu trừ, đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong ngoặc.

💡 Đây là bước dễ mắc lỗi nhất khi trừ đa thức. Hãy thật cẩn thận và kiểm tra lại dấu.

Bước 4

Nhóm đơn thức đồng dạng

Sau khi bỏ ngoặc, nhóm tất cả các đơn thức đồng dạng lại với nhau. Sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần của biến để dễ nhìn và tránh bỏ sót.

💡 Sử dụng bút chì gạch chân hoặc đánh dấu các hạng tử đã nhóm để không bị nhầm lẫn.

Bước 5

Cộng/trừ hệ số

Thực hiện phép cộng hoặc trừ các hệ số của từng nhóm đơn thức đồng dạng và giữ nguyên phần biến. Các đơn thức không đồng dạng sẽ được giữ nguyên.

💡 Chỉ cộng hoặc trừ hệ số của các đơn thức CÙNG PHẦN BIẾN.

Bước 6

Viết kết quả

Viết đa thức kết quả dưới dạng đã thu gọn, thường là sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần của biến.

💡 Kiểm tra lại xem đa thức kết quả đã được thu gọn hoàn toàn và không còn đơn thức đồng dạng nào chưa cộng/trừ.

Ví dụ 1/2

Cộng hai đa thức

VÍ DỤ 1 · Cộng hai đa thức

L2

Cho hai đa thức

P(x) = 5x^2 - 3x + 1

và

Q(x) = -2x^2 + 4x - 7

. Hãy tính tổng

P(x) + Q(x)

.

Ví dụ 2/2

Trừ hai đa thức

VÍ DỤ 2 · Trừ hai đa thức

L3

Cho hai đa thức

A(y) = 4y^3 - y^2 + 6

và

B(y) = 2y^3 + 3y^2 - 5y - 2

. Hãy tính hiệu

A(y) - B(y)

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Tính tổng hoặc hiệu của hai hoặc nhiều đa thức đã cho.

1Đặt phép tính trong ngoặc.
2Bỏ ngoặc (chú ý đổi dấu khi trừ).
3Nhóm các đơn thức đồng dạng.
4Cộng/trừ hệ số, giữ biến.
5Viết kết quả cuối cùng.

⚠️ Luôn cẩn thận với dấu khi bỏ ngoặc, đặc biệt là dấu trừ.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Cộng và trừ đa thức giúp chúng ta mô hình hóa và tính toán sự thay đổi của các đại lượng phụ thuộc vào một biến số trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Kinh tế học: Khi tính toán tổng chi phí hoặc tổng doanh thu của một công ty. Nếu chi phí sản xuất

C(x)

và chi phí vận chuyển

T(x)

đều là các đa thức phụ thuộc vào số lượng sản phẩm

x

, thì tổng chi phí sẽ là

C(x) + T(x)

.

Vật lý học: Trong chuyển động, vị trí của một vật có thể được mô tả bằng đa thức theo thời gian. Khi kết hợp các chuyển động (ví dụ, một vật bị ném lên và chịu tác động của gió), tổng hoặc hiệu của các đa thức vị trí có thể cho biết quỹ đạo tổng hợp.

Kỹ thuật: Trong thiết kế cầu đường, các kỹ sư dùng đa thức để mô tả hình dạng của các đường cong, độ võng của dầm cầu. Việc cộng trừ đa thức giúp tính toán các biến dạng tổng hợp hoặc sự kết hợp của các yếu tố thiết kế khác nhau.

Thú vị: Mặc dù khái niệm đa thức được sử dụng rộng rãi trong toán học hiện đại, nhưng các nhà toán học Babylon cổ đại đã biết cách giải các bài toán tương đương với việc giải phương trình bậc hai từ hơn 4000 năm trước.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Rút gọn $(-4x^2 - 6x - 4) + (3x^2 + 2x + 6)$ .

2

Rút gọn $(4x^2 - 2x - 1) + (-2x^2 - 2x + 5)$ .

3

Cho $P(x) = 3x^{2} + 3x + 5$ và $Q(x) = 7x^{2} + 8x - 5$ . Tính $P(x) + Q(x)$ .

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)