MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Trường hợp bằng nhau thứ hai: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c)

Trường hợp bằng nhau thứ hai của hai tam giác là cạnh - góc - cạnh (c.g.c). Phát biểu này có nghĩa là: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Lưu ý, góc xen giữa là góc có đỉnh là điểm chung của hai cạnh đó.

Để hai tam giác $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ bằng nhau theo trường hợp c.g.c, cần có điều kiện nào sau đây?

Mạch 2/4

Ví dụ về trường hợp c.g.c

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ADC$ có $AB = AD$ , $\angle BAC = \angle DAC$ . Góc $\angle BAC$ là góc xen giữa hai cạnh $AB$ và $AC$ , còn $\angle DAC$ là góc xen giữa hai cạnh $AD$ và $AC$ . Nếu thêm điều kiện $AC$ là cạnh chung, hay $AC = AC$ , thì ta có thể kết luận $\triangle ABC = \triangle ADC$ theo trường hợp c.g.c.

Cho $\triangle MNP$ và $\triangle QRS$ có $MN = QR$ , $\angle N = \angle R$ , $NP = RS$ . Kết luận nào đúng?

Mạch 3/4

Trường hợp bằng nhau thứ ba: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g)

Trường hợp bằng nhau thứ ba là góc - cạnh - góc (g.c.g). Điều này có nghĩa là: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Hai góc kề một cạnh là hai góc có đỉnh nằm ở hai đầu mút của cạnh đó.

Để hai tam giác $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ bằng nhau theo trường hợp g.c.g, cần có điều kiện nào sau đây?

Mạch 4/4

Ví dụ về trường hợp g.c.g

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ABD$ có $\angle CAB = \angle DAB$ và $\angle CBA = \angle DBA$ . Cạnh $AB$ là cạnh chung, do đó $AB = AB$ . Cạnh $AB$ này kề với $\angle CAB$ và $\angle CBA$ ở tam giác thứ nhất, và kề với $\angle DAB$ và $\angle DBA$ ở tam giác thứ hai. Vậy $\triangle ABC = \triangle ABD$ theo trường hợp g.c.g.

Cho $\triangle XYZ$ và $\triangle PQR$ có $\angle X = \angle P$ , $XY = PQ$ , $\angle Y = \angle Q$ . Kết luận nào đúng?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Trường hợp c.g.c: Hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia. Kí hiệu: $AB = A'B'$ , $\angle B = \angle B'$ , $BC = B'C' \Rightarrow \triangle ABC = \triangle A'B'C'$ .
Góc xen giữa hai cạnh là góc có đỉnh là điểm chung của hai cạnh đó.
Trường hợp g.c.g: Một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia. Kí hiệu: $\angle B = \angle B'$ , $BC = B'C'$ , $\angle C = \angle C' \Rightarrow \triangle ABC = \triangle A'B'C'$ .
Hai góc kề một cạnh là hai góc có đỉnh nằm ở hai đầu mút của cạnh đó.
Khi chứng minh tam giác bằng nhau, cần xác định đúng các đỉnh tương ứng.

Lỗi hay gặp

Nhầm lẫn giữa góc xen giữa và góc không xen giữa trong trường hợp c.g.c (ví dụ: có $AB=A'B'$ , $BC=B'C'$ và $\angle C = \angle C'$ thì kết luận $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ ).
Sửa: Luôn kiểm tra xem góc đã cho có phải là góc được tạo bởi hai cạnh đã biết hay không. Góc phải 'kẹp' giữa hai cạnh. Nếu không phải, trường hợp c.g.c không áp dụng được.
Nhầm lẫn giữa cạnh xen giữa và cạnh không xen giữa trong trường hợp g.c.g (ví dụ: có $\angle A = \angle A'$ , $\angle B = \angle B'$ và $BC = B'C'$ thì kết luận $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ ).
Sửa: Luôn kiểm tra xem cạnh đã cho có phải là cạnh nối giữa hai đỉnh của hai góc đã biết hay không. Cạnh phải 'kẹp' giữa hai góc. Nếu không phải, trường hợp g.c.g không áp dụng được.
Không xác định đúng thứ tự các đỉnh tương ứng khi viết kí hiệu bằng nhau của hai tam giác.
Sửa: Sau khi chứng minh hai tam giác bằng nhau, cần viết kí hiệu bằng nhau ( $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$ ) sao cho các đỉnh tương ứng (đỉnh đối diện với cạnh bằng nhau, đỉnh của góc bằng nhau) phải ở cùng một vị trí.

Quy trình

Quy trình giải

1

Vẽ hình và ghi GT, KL

Vẽ hình minh họa chính xác các yếu tố đã cho và ghi rõ Giả thiết (GT), Kết luận (KL) của bài toán.

💡 Sử dụng thước và compa để vẽ hình chính xác, giúp dễ dàng quan sát và nhận biết các yếu tố.

2

Xác định các tam giác

Xác định hai tam giác cần chứng minh bằng nhau. Ghi rõ tên hai tam giác đó (ví dụ: Xét $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ ).

💡 Đảm bảo các đỉnh được gọi theo thứ tự tương ứng để tránh nhầm lẫn.

3

Tìm các yếu tố bằng nhau

Liệt kê các cặp cạnh bằng nhau và các cặp góc bằng nhau dựa trên giả thiết, tính chất hình học (góc đối đỉnh, so le trong, đồng vị) hoặc các kết quả đã chứng minh.

💡 Đánh dấu các yếu tố bằng nhau trên hình vẽ để dễ theo dõi (ví dụ: dùng kí hiệu gạch, cung tròn).

4

Chọn trường hợp bằng nhau

Kiểm tra xem các yếu tố đã tìm được có phù hợp với trường hợp c.g.c (hai cạnh, góc xen giữa) hay g.c.g (một cạnh, hai góc kề) hay không.

💡 Nếu thiếu một yếu tố, hãy xem xét liệu có thể tính toán hoặc chứng minh thêm yếu tố đó không (ví dụ: tìm góc thứ ba của tam giác).

5

Trình bày lời giải

Viết lời giải chi tiết, rõ ràng, bắt đầu bằng 'Xét $\triangle ...$ và $\triangle ...$ có:', sau đó liệt kê 3 điều kiện bằng nhau và kết luận hai tam giác bằng nhau kèm theo trường hợp tương ứng.

💡 Nêu rõ lí do cho mỗi yếu tố bằng nhau (giả thiết, cạnh chung, góc đối đỉnh, v.v.).

6

Suy ra yếu tố khác

Nếu bài toán yêu cầu, từ hai tam giác bằng nhau, suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau hoặc các cặp góc tương ứng bằng nhau.

💡 Ghi rõ 'hai cạnh tương ứng' hoặc 'hai góc tương ứng' khi suy ra các yếu tố này.

Ví dụ 1/3

Chứng minh tam giác bằng nhau theo c.g.c

VÍ DỤ 1 · Chứng minh tam giác bằng nhau theo c.g.c

L2

Cho hình vẽ bên, biết

AB = AD

và

\angle BAC = \angle DAC

. Chứng minh rằng

\triangle ABC = \triangle ADC

.

Ví dụ 2/3

Chứng minh tam giác bằng nhau theo g.c.g

VÍ DỤ 2 · Chứng minh tam giác bằng nhau theo g.c.g

L3

Cho đoạn thẳng

AB

. Vẽ tia

Ax

bất kì. Trên tia

Ax

lấy điểm

C

sao cho

AC = AB

. Vẽ tia

By

sao cho tia

By

song song với

AC

và tia

By

nằm khác phía với tia

Ax

so với đường thẳng

AB

. Trên tia

By

lấy điểm

D

sao cho

BD = AC

. Chứng minh rằng

\triangle ABC = \triangle BAD

.

Ví dụ 3/3

Kết hợp tìm góc và chứng minh

VÍ DỤ 3 · Kết hợp tìm góc và chứng minh

L3

Cho

\triangle ABC

có

\angle A = 80^\circ

,

\angle B = 60^\circ

. Trên cạnh

BC

lấy điểm

D

sao cho

BD = AB

. Trên tia đối của tia

BA

lấy điểm

E

sao cho

BE = BC

. Chứng minh rằng

\triangle ABD = \triangle EBC

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dạng bài tập cơ bản yêu cầu sử dụng trường hợp c.g.c hoặc g.c.g để chứng minh hai tam giác bằng nhau.

1Xác định hai tam giác cần chứng minh
2Tìm 3 yếu tố bằng nhau
3Kiểm tra điều kiện c.g.c hoặc g.c.g
4Kết luận

⚠️ Chú ý vị trí tương đối của góc và cạnh (xen giữa/kề).

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Các trường hợp bằng nhau của tam giác được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật, kiến trúc và thiết kế để đảm bảo sự ổn định, đối xứng và chính xác của các cấu trúc.

Kiến trúc và xây dựng: Khi xây dựng các khung mái nhà, cầu, hoặc các cấu trúc giàn, việc sử dụng các thanh giằng tạo thành các tam giác bằng nhau giúp phân bổ lực đều, đảm bảo sự vững chắc và cân bằng cho công trình.

Thiết kế đồ họa và nghệ thuật: Trong thiết kế logo, hoa văn hoặc các tác phẩm nghệ thuật, việc lặp lại các hình tam giác bằng nhau giúp tạo ra sự hài hòa, đối xứng và tính thẩm mỹ cao.

Đo đạc địa lí: Các nhà khảo sát sử dụng nguyên tắc tam giác bằng nhau để đo khoảng cách gián tiếp hoặc xác định vị trí của các điểm khó tiếp cận, bằng cách tạo ra các tam giác đồng dạng hoặc bằng nhau trên bản đồ hoặc thực địa.

Thú vị: Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid, trong tác phẩm 'Cơ sở' của mình, đã trình bày các tiên đề và định lí về sự bằng nhau của tam giác, đặt nền móng cho hình học phẳng mà chúng ta học ngày nay.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Tam giác $ABC$ bằng tam giác $DEF$ ( $\triangle ABC = \triangle DEF$ ). Biết $AB = 19$ cm. Tính độ dài cạnh tương ứng $DE$ .

2

Tam giác $ABC$ bằng tam giác $DEF$ ( $\triangle ABC = \triangle DEF$ ). Biết $AB = 6$ cm. Tính độ dài cạnh tương ứng $DE$ .

3

Tam giác $ABC$ bằng tam giác $DEF$ ( $\triangle ABC = \triangle DEF$ ). Biết $AB = 16$ cm. Tính độ dài cạnh tương ứng $DE$ .

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)