ThoátLý thuyếtTính chất của dãy tỉ số bằng nhau Công cụ
1/11

Trang 1: Định nghĩa dãy tỉ số bằng nhau

Mạch 1/3

Định nghĩa dãy tỉ số bằng nhau

Một dãy tỉ số bằng nhau là một chuỗi các tỉ số có cùng giá trị. Ví dụ, nếu ab=cd=ef\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}, thì đây là một dãy tỉ số bằng nhau. Các số a,c,ea, c, e được gọi là tử số, và b,d,fb, d, f là các mẫu số. Điều kiện quan trọng là các mẫu số phải khác 00 (b≠0,d≠0,f≠0b \neq 0, d \neq 0, f \neq 0). Giá trị chung của các tỉ số này được gọi là hệ số tỉ lệ kk, tức là a=bk,c=dk,e=fka = bk, c = dk, e = fk với kk là hằng số.

Mạch 2/3

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Nếu có dãy tỉ số bằng nhau ab=cd=ef\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} (với b,d,f≠0b, d, f \neq 0), ta có thể áp dụng tính chất sau: tổng các tử số chia cho tổng các mẫu số cũng bằng tỉ số đó. Cụ thể, ab=cd=ef=a+c+eb+d+f\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a+c+e}{b+d+f}, với điều kiện b+d+f≠0b+d+f \neq 0. Tính chất này cũng áp dụng cho hai tỉ số bất kỳ trong dãy.

Mạch 3/3

Áp dụng tính chất

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau rất hữu ích để tìm các số chưa biết. Khi biết một dãy tỉ số bằng nhau và có thêm thông tin về tổng hoặc hiệu của các số, ta có thể dễ dàng tìm ra giá trị của từng số. Ví dụ, nếu x3=y5\frac{x}{3} = \frac{y}{5} và x+y=16x+y=16, ta có thể tìm xx và yy bằng cách áp dụng tính chất: x3=y5=x+y3+5=168=2\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{x+y}{3+5} = \frac{16}{8} = 2. Từ đó suy ra x=3×2=6x = 3 \times 2 = 6 và y=5×2=10y = 5 \times 2 = 10.

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

  • Nếu ab=cd=ef\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}, thì ab=cd=ef=a+c+eb+d+f\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a+c+e}{b+d+f} (với b,d,f≠0b, d, f \neq 0 và b+d+f≠0b+d+f \neq 0).
  • Có thể áp dụng tính chất cho hai tỉ số bất kỳ: ab=cd=a+cb+d\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} (nếu b+d≠0b+d \neq 0) và ab=cd=a−cb−d\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a-c}{b-d} (nếu b−d≠0b-d \neq 0).
  • Luôn kiểm tra điều kiện các mẫu số phải khác 00 trước khi áp dụng tính chất.

Lỗi hay gặp

Lỗi hay gặp

  • Áp dụng sai phép toán ở mẫu số: Ví dụ, nếu có ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d} và muốn dùng tổng tử số, nhưng lại dùng hiệu mẫu số: a+cb−d\frac{a+c}{b-d}.
    Sửa: Luôn đảm bảo rằng phép toán ở tử số và mẫu số phải tương ứng. Nếu tử số là tổng (a+ca+c), thì mẫu số cũng phải là tổng (b+db+d). Tương tự với phép trừ.
  • Quên kiểm tra điều kiện mẫu số khác 00: Áp dụng tính chất khi mẫu số của tỉ số mới tạo thành bằng 00, ví dụ b+d=0b+d=0, dẫn đến tỉ số không xác định.
    Sửa: Trước khi viết tỉ số mới, hãy kiểm tra xem tổng hoặc hiệu của các mẫu số có bằng 00 hay không. Nếu bằng 00, không thể áp dụng tính chất đó.
  • Áp dụng tính chất cho các tỉ số không bằng nhau: Sử dụng tính chất khi các tỉ số ban đầu không thực sự bằng nhau.
    Sửa: Đảm bảo rằng các tỉ số đã cho thực sự tạo thành một dãy tỉ số bằng nhau. Nếu không, cần biến đổi hoặc kiểm tra lại đề bài.

Quy trình

Quy trình giải

1

Xác định tỉ số

Nhận diện các tỉ số bằng nhau đã cho trong bài toán, ví dụ xa=yb=zc\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}.

2

Biến đổi tỉ số (nếu cần)

Nếu điều kiện bổ sung liên quan đến các biểu thức như mx+ny−pzmx+ny-pz, hãy nhân tử số và mẫu số của các tỉ số tương ứng với các hệ số m,n,pm, n, p để tạo ra các tỉ số mới có tử số phù hợp, ví dụ mxma=nynb=pzpc\frac{mx}{ma} = \frac{ny}{nb} = \frac{pz}{pc}.

3

Áp dụng tính chất

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: xa=yb=x±ya±b\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{x \pm y}{a \pm b} hoặc mx±ny±pzma±nb±pc\frac{mx \pm ny \pm pz}{ma \pm nb \pm pc}.

4

Thay số và tính

Thay các giá trị đã biết từ điều kiện bổ sung vào tỉ số mới và tính giá trị chung của dãy tỉ số.

5

Tìm ẩn số

Đặt mỗi tỉ số ban đầu bằng giá trị chung vừa tìm được để giải và tìm các ẩn số x,y,zx, y, z.

6

Kiểm tra lại

Thay các giá trị tìm được vào điều kiện bổ sung ban đầu để đảm bảo kết quả là chính xác.

Ví dụ 1/2

Tìm hai số khi biết tỉ số và tổng

VÍ DỤ 1 · Tìm hai số khi biết tỉ số và tổng
L2
Tìm hai số xx và yy biết x3=y5\frac{x}{3} = \frac{y}{5} và x+y=16x+y=16.

Ví dụ 2/2

Tìm ba số với biểu thức phức tạp

VÍ DỤ 2 · Tìm ba số với biểu thức phức tạp
L3
Tìm ba số a,b,ca, b, c biết a2=b3=c4\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} và a+2b−c=12a+2b-c=12.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Cho các tỉ số bằng nhau và một phương trình về tổng hoặc hiệu của các biến.

  1. 1Xác định tỉ số bằng nhau
  2. 2Áp dụng tính chất tổng/hiệu
  3. 3Tìm giá trị chung
  4. 4Tính các biến

⚠️ Đảm bảo phép toán ở tử số và mẫu số tương ứng (cùng là cộng hoặc cùng là trừ).

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau được ứng dụng rộng rãi trong các tình huống thực tế cần chia sẻ hoặc phân phối theo tỉ lệ.

Kinh tế và tài chính: Chia lợi nhuận của một công ty cho các cổ đông theo tỉ lệ góp vốn. Ví dụ, ba cổ đông góp vốn theo tỉ lệ 2:3:52:3:5, và tổng lợi nhuận là XX đồng, ta có thể dùng tính chất này để tính phần lợi nhuận của mỗi người.
Nấu ăn và pha chế: Điều chỉnh công thức nấu ăn khi thay đổi số lượng khẩu phần. Nếu một công thức cho 44 người cần 200200g bột và 100100ml sữa, để nấu cho 66 người, ta có thể dùng tỉ số bằng nhau để tính lượng nguyên liệu cần thiết: bột200=sữa100=64\frac{\text{bột}}{200} = \frac{\text{sữa}}{100} = \frac{6}{4}.
Địa lý và bản đồ: Xác định khoảng cách thực tế dựa trên tỉ lệ bản đồ. Nếu tỉ lệ bản đồ là 1:1000001:100000 (tức là 11cm trên bản đồ tương ứng với 100000100000cm trong thực tế), và khoảng cách giữa hai điểm trên bản đồ là 55cm, ta có thể dùng tỉ số để tính khoảng cách thực tế.

Thú vị: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, mặc dù thường được trình bày dưới dạng hiện đại, nhưng ý tưởng về tỉ lệ và phân chia theo tỉ lệ đã xuất hiện từ thời Hy Lạp cổ đại với các nhà toán học như Euclid, trong các công trình về hình học và số học.

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Biết x5=y3\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3} và x+y=32x + y = 32. Tính xx.

2

Biết x3=y4\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} và x+y=35x + y = 35. Tính xx.

3

Biết x4=y4\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{4} và x+y=64x + y = 64. Tính xx.

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)

Luyện tập