MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Đường trung trực của đoạn thẳng

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Ví dụ: Đường thẳng $d$ là trung trực của $AB$ nếu $d \perp AB$ tại trung điểm $M$ của $AB$ . Mọi điểm $P$ trên $d$ đều thỏa mãn $PA = PB$ .

Đường thẳng $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ nếu:

Mạch 2/4

Ba đường trung trực của tam giác

Ba đường trung trực của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này cách đều ba đỉnh của tam giác và được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Vị trí của điểm đồng quy phụ thuộc vào loại tam giác: nằm trong tam giác nhọn, là trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông, và nằm ngoài tam giác tù.

Giao điểm ba đường trung trực của tam giác $ABC$ có tính chất gì?

Mạch 3/4

Đường cao của tam giác

Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đối diện). Mỗi tam giác có ba đường cao.

Trong tam giác $ABC$ , $AH$ là đường cao ứng với cạnh $BC$ nếu:

Mạch 4/4

Ba đường cao của tam giác

Ba đường cao của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm duy nhất. Điểm đồng quy này được gọi là trực tâm của tam giác. Đối với tam giác nhọn, trực tâm nằm bên trong; với tam giác vuông, trực tâm trùng với đỉnh góc vuông; với tam giác tù, trực tâm nằm bên ngoài.

Điểm đồng quy của ba đường cao trong một tam giác được gọi là gì?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ là đường thẳng vuông góc với $AB$ tại trung điểm của nó.
Điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm, gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp, cách đều ba đỉnh của tam giác.
Đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.
Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm, gọi là trực tâm của tam giác.

Lỗi hay gặp

Nhầm lẫn giữa đường trung trực và đường trung tuyến hoặc đường cao. Ví dụ, vẽ đường trung trực nhưng chỉ đảm bảo đi qua trung điểm mà quên tính vuông góc, hoặc ngược lại.
Sửa: Luôn nhớ định nghĩa: đường trung trực phải thỏa mãn HAI điều kiện là đi qua trung điểm VÀ vuông góc với đoạn thẳng. Đường cao chỉ cần vuông góc với cạnh đối diện từ đỉnh. Đường trung tuyến chỉ cần đi qua trung điểm cạnh đối diện từ đỉnh.
Xác định sai vị trí của tâm đường tròn ngoại tiếp hoặc trực tâm, đặc biệt với tam giác vuông hoặc tam giác tù.
Sửa: Nắm vững các trường hợp đặc biệt: với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền, trực tâm là đỉnh góc vuông. Với tam giác tù, cả hai điểm này đều nằm ngoài tam giác.
Không sử dụng đúng tính chất đồng quy để giải bài toán. Ví dụ, khi cần chứng minh một điểm cách đều ba đỉnh, lại đi chứng minh nó là trực tâm.
Sửa: Phân biệt rõ ràng tính chất của từng điểm đồng quy: tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều ba đỉnh ( $OA = OB = OC$ ), trực tâm là giao điểm của các đường cao (liên quan đến tính vuông góc).

Quy trình

Quy trình giải

Bước 1

Đọc hiểu đề bài

Đọc kỹ đề bài để xác định yêu cầu: cần tìm đường trung trực hay đường cao, hay điểm đồng quy của chúng. Lưu ý các thông tin đã cho về tam giác ( $AB$ , $BC$ , $CA$ , các góc,...).

💡 Gạch chân các từ khóa quan trọng như 'trung trực', 'đường cao', 'đồng quy', 'trực tâm', 'tâm đường tròn ngoại tiếp'.

Bước 2

Vẽ hình minh họa

Vẽ hình tam giác và các yếu tố đã cho một cách chính xác. Sử dụng thước, compa, ê-ke để đảm bảo độ chính xác cho các góc vuông, trung điểm, và độ dài đoạn thẳng.

💡 Vẽ hình to, rõ ràng để dễ dàng quan sát và thực hiện các bước tiếp theo. Đặt tên các điểm, đường rõ ràng.

Bước 3

Xác định loại đường

Dựa vào yêu cầu, xác định cần vẽ/chứng minh đường trung trực hay đường cao. Nhớ lại định nghĩa và tính chất cơ bản của từng loại đường.

💡 Nếu là trung trực, phải có $M$ là trung điểm và $d \perp AB$ . Nếu là đường cao, phải có $AH \perp BC$ .

Bước 4

Áp dụng tính chất

Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trung trực (tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều ba đỉnh) hoặc ba đường cao (trực tâm) để giải quyết bài toán.

💡 Chỉ cần vẽ hai đường trung trực hoặc hai đường cao là có thể xác định được điểm đồng quy. Đường thứ ba sẽ tự động đi qua điểm đó.

Bước 5

Trình bày lời giải

Viết lời giải một cách logic, rõ ràng, có căn cứ. Giải thích từng bước thực hiện hoặc chứng minh.

💡 Sử dụng các ký hiệu toán học chính xác và trình bày theo từng luận điểm.

Bước 6

Kiểm tra kết quả

Xem xét lại các bước giải và kết quả. Đảm bảo rằng kết quả phù hợp với các định nghĩa và tính chất đã học.

💡 Nếu là bài toán vẽ hình, có thể dùng thước đo lại để kiểm tra tính chính xác của các đoạn thẳng bằng nhau hoặc góc vuông.

Ví dụ 1/3

Vẽ đường trung trực và kiểm tra tính chất

VÍ DỤ 1 · Vẽ đường trung trực và kiểm tra tính chất

L2

Cho đoạn thẳng

AB

dài

6 \text{ cm}

. a) Hãy vẽ đường trung trực

d

của đoạn thẳng

AB

. b) Lấy điểm

M

bất kì trên đường trung trực

d

. Đo độ dài

MA

và

MB

. Nhận xét gì về kết quả?

Ví dụ 2/3

Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

VÍ DỤ 2 · Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

L3

Cho tam giác

ABC

có

AB = 5 \text{ cm}

,

BC = 7 \text{ cm}

,

CA = 6 \text{ cm}

. a) Hãy vẽ tam giác

ABC

. b) Xác định tâm

O

của đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

bằng cách vẽ hai đường trung trực của tam giác.

Ví dụ 3/3

Xác định trực tâm tam giác

VÍ DỤ 3 · Xác định trực tâm tam giác

L3

Cho tam giác

PQR

có

P = 50^\circ

,

Q = 70^\circ

. a) Hãy vẽ tam giác

PQR

. b) Xác định trực tâm

H

của tam giác

PQR

bằng cách vẽ hai đường cao.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Dạng bài tập yêu cầu vẽ đường trung trực hoặc đường cao của một đoạn thẳng/tam giác và nhận dạng các yếu tố liên quan.

1Đọc kỹ yêu cầu đề bài
2Vẽ đoạn thẳng/tam giác đã cho
3Xác định trung điểm (nếu là trung trực)
4Vẽ đường vuông góc (tại trung điểm hoặc từ đỉnh)
5Kiểm tra lại bằng dụng cụ

⚠️ Luôn sử dụng dụng cụ học tập (thước, compa, ê-ke) một cách cẩn thận để đảm bảo độ chính xác của hình vẽ.

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Sự đồng quy của trung trực và đường cao có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực kỹ thuật và thiết kế, giúp xác định các điểm đặc biệt có tính chất cân bằng hoặc tối ưu.

Kiến trúc và Xây dựng: Trong thiết kế các cấu trúc mái nhà hình tam giác, việc xác định trực tâm giúp tính toán điểm chịu lực chính hoặc vị trí treo đèn trang trí để đảm bảo cân bằng. Khi thiết kế các công trình có hình dạng tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp có thể được dùng để xác định vị trí đặt một cột trụ duy nhất cách đều ba góc của công trình.

Định vị và Quy hoạch: Trong quy hoạch đô thị hoặc thiết kế mạng lưới dịch vụ, nếu cần đặt một trạm phát sóng (hoặc bệnh viện, trường học) sao cho nó cách đều ba điểm dân cư (ba đỉnh của một tam giác), thì vị trí tối ưu chính là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác tạo bởi ba điểm đó.

Thú vị: Mặc dù trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp là bốn điểm đặc biệt của tam giác, nhưng chỉ có ba trong số đó (trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp) luôn nằm trên một đường thẳng duy nhất, được gọi là đường thẳng Euler (được đặt tên theo nhà toán học Leonhard Euler).

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Giao điểm ba đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)