Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ $x$, kí hiệu là $(x)^n$ (với $n$ là số tự nhiên lớn hơn 1), là tích của $n$ thừa số $x$. Trong đó, $x$ là cơ số và $n$ là số mũ. Chúng ta có quy ước $(x)^1 = x$ và $(x)^0 = 1$ (với $x \ne 0$).

Ví dụ:

• $(2/3)^2 = (2/3) \cdot (2/3) = 4/9$
• $(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$
• $(10)^1 = 10$
• $(-4)^0 = 1$

Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: $(x)^m \cdot (x)^n = (x)^{m+n}$. Khi chia hai lũy thừa có cùng cơ số khác $0$, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ: $(x)^m : (x)^n = (x)^{m-n}$ (với $m \ge n$).

Ví dụ:

• $(2)^3 \cdot (2)^2 = (2)^{3+2} = (2)^5 = 32$
• $(-5)^4 : (-5)^2 = (-5)^{4-2} = (-5)^2 = 25$

Lũy thừa của một lũy thừa được tính bằng cách giữ nguyên cơ số và nhân các số mũ với nhau: $((x)^m)^n = (x)^{m \cdot n}$. Tính chất này giúp rút gọn biểu thức chứa nhiều lũy thừa lồng nhau.

Ví dụ:

• $((3)^2)^3 = (3)^{2 \cdot 3} = (3)^6$
• $((-1/2)^3)^2 = (-1/2)^{3 \cdot 2} = (-1/2)^6$

Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa của các thừa số: $(x \cdot y)^n = (x)^n \cdot (y)^n$. Tương tự, lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa của số bị chia và số chia (với số chia khác 0): $(x : y)^n = (x)^n : (y)^n$.

Ví dụ:

• $(2 \cdot 3)^3 = (2)^3 \cdot (3)^3 = 8 \cdot 27 = 216$
• $((1/2) : (1/3))^2 = (1/2)^2 : (1/3)^2 = (1/4) : (1/9) = 9/4$