MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trong không gian, đường thẳng $d$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ . Dấu hiệu nhận biết quan trọng là: nếu $d$ vuông góc với hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau cùng nằm trong $(P)$ , thì $d$ vuông góc với $(P)$ . Ký hiệu: $d \perp (P)$ .

Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ . Khi nào ta kết luận $d \perp (P)$ ?

Mạch 2/4

Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ được gọi là vuông góc với nhau nếu $(P)$ chứa một đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ . Điều này tương đương với việc $(Q)$ chứa một đường thẳng $b$ vuông góc với $(P)$ . Ký hiệu: $(P) \perp (Q)$ .

Phát biểu nào sau đây mô tả đúng định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc $(P) \perp (Q)$ ?

Mạch 3/4

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa một đường thẳng $d$ và một mặt phẳng $(P)$ (với $d$ không vuông góc với $(P)$ ) là góc giữa $d$ và đường thẳng $d'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$ . Nếu $d \perp (P)$ , góc này được quy ước bằng $90^\circ$ .

Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ được xác định như thế nào?

Mạch 4/4

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ một điểm $M$ đến một mặt phẳng $(P)$ là độ dài của đoạn thẳng hạ từ $M$ xuống $(P)$ và vuông góc với $(P)$ . Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $(P)$ , thì khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn $MH$ . Ký hiệu: $d(M, (P)) = MH$ .

Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ được đo bằng độ dài của đoạn thẳng nào?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

d⊥(P) ⟺ d vuông góc mọi đường trong (P)
Dấu hiệu: d⊥ hai đường cắt nhau trong (P)
(P)⊥(Q) khi (P) chứa đường ⊥(Q)
Góc đt–mp = góc giữa đt và hình chiếu
Khoảng cách điểm–mp = đoạn vuông góc hạ xuống

Lỗi hay gặp

Kết luận d⊥(P) khi d chỉ vuông góc một đường trong (P)
Sửa: Cần vuông góc HAI đường cắt nhau.
Nhầm góc đt-mp với góc đt-đt bất kì
Sửa: Là góc giữa đt và HÌNH CHIẾU của nó lên mp.
Tính khoảng cách bằng đoạn xiên
Sửa: Khoảng cách là đoạn vuông góc, ngắn nhất.

Quy trình

Quy trình giải

1

Kiểm tra vuông góc đường thẳng

a⊥b trong không gian: góc giữa a và b (hoặc véctơ chỉ phương) bằng 90°; tích vô hướng = 0.

2

Chứng minh đt vuông góc mp

a⊥(P): a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).

💡 Chỉ cần hai đt cắt nhau, không cần tất cả đt trong (P)

3

Tìm đường vuông góc chung

Đường vuông góc chung của hai đt chéo nhau là đt vuông góc với cả hai và cắt cả hai.

4

Chứng minh hai mp vuông góc

(P)⊥(Q) khi góc nhị diện giữa chúng bằng 90°; tương đương có đt trong (P) vuông góc (Q).

5

Tìm hình chiếu vuông góc

Hình chiếu của điểm M lên (P) là chân đường vuông góc từ M xuống (P).

Ví dụ 1/2

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

VÍ DỤ 1 · Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

L2

Cho hình chóp

S.ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông cạnh

a

,

SA \perp (ABCD)

. Chứng minh

SB \perp BC

.

Ví dụ 2/2

Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

VÍ DỤ 2 · Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

L3

Cho hình chóp

S.ABC

có

SA \perp (ABC)

,

SA = 4

, tam giác

ABC

vuông tại

B

,

AB = 3

,

BC = 4

. Tính khoảng cách từ

A

đến mặt phẳng

(SBC)

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Chứng minh a⊥(P) bằng cách tìm hai đt cắt nhau trong (P) đều vuông góc với a.

1Tìm hai đt b,c trong (P) cắt nhau
2Chứng minh a⊥b và a⊥c
3Kết luận a⊥(P)

⚠️ Dùng tính chất tam giác cân, hình vuông để tìm vuông góc

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Quan hệ vuông góc đảm bảo sự vững chắc và ổn định — nguyên tắc số một trong xây dựng.

Xây dựng: Cột nhà phải vuông góc với mặt đất để chịu lực thẳng đứng tối ưu, tránh đổ.

Đo đạc: Khoảng cách (đoạn vuông góc) dùng tính chiều cao công trình, độ sâu.

Thiết kế: Góc giữa các mặt quyết định hình dáng và độ bền của kết cấu.

Thú vị: Dây dọi (quả nặng treo dây) mà thợ xây dùng từ thời Ai Cập cổ chính là công cụ tạo đường vuông góc với mặt đất — hình học vuông góc cổ xưa nhất loài người!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Trong không gian, hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng

2

Để chứng minh $d\perp(P)$ cần $d$ vuông góc với

3

Trong không gian, cho hai đường thẳng $a$ và $b$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)