Ta đã biết lũy thừa với số mũ nguyên dương $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số $a$: $a^n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ ($n$ thừa số). Với $a \neq 0$, ta có $a^0 = 1$. Với số nguyên âm $-n$, ta định nghĩa $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.

Xét số thực $a > 0$. Với số hữu tỉ $\dfrac{m}{n}$ ($n \in \mathbb{N}^*$), lũy thừa $a^{\frac{m}{n}}$ được định nghĩa là $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Điều này mở rộng khái niệm lũy thừa từ số mũ nguyên sang số mũ hữu tỉ.

Lũy thừa với số mũ thực $a^{\alpha}$ ($\alpha \in \mathbb{R}$) được định nghĩa cho cơ số $a > 0$. Khái niệm này tổng quát hóa lũy thừa với số mũ nguyên và hữu tỉ, cho phép xét các số mũ không thể biểu diễn dưới dạng phân số đơn giản.

Với $a, b > 0$ và $x, y \in \mathbb{R}$, lũy thừa với số mũ thực tuân theo các quy tắc sau: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$; $\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$; $(a^x)^y = a^{xy}$; $(ab)^x = a^x b^x$. Các tính chất này tương tự như với số mũ nguyên và hữu tỉ.