MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/4

Định nghĩa Lôgarit

Cho hai số dương $a, b$ với $a\neq 1$ . Số $\alpha$ thỏa mãn $a^{\alpha}=b$ được gọi là lôgarit cơ số $a$ của $b$ , ký hiệu là $\log_a b$ . Như vậy,

$\log_a b=\alpha$

$\Rightarrow a^{\alpha}=b$

. Đây là mối liên hệ giữa lũy thừa và lôgarit.

Theo định nghĩa, $\log_2 8$ bằng bao nhiêu?

Mạch 2/4

Tính chất cơ bản

Lôgarit có một số tính chất cơ bản rất hữu ích. Cụ thể: $\log_a 1=0$ (lôgarit của 1 với mọi cơ số $a>0,\ a\neq 1$ luôn bằng 0), $\log_a a=1$ (lôgarit của cơ số $a$ luôn bằng 1). Ngoài ra, ta còn có $a^{\log_a b}=b$ và $\log_a a^{x}=x$ .

Giá trị của $\log_5 5$ là bao nhiêu?

Mạch 3/4

Quy tắc tính Lôgarit

Để tính toán với lôgarit, ta sử dụng các quy tắc sau: Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ . Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit: $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ . Lôgarit của lũy thừa: $\log_a x^{\alpha}=\alpha\log_a x$ . Các quy tắc này áp dụng với $x, y > 0$ và $a>0, a eq1$ .

Biểu thức $\log_3 9 + \log_3 3$ tương đương với biểu thức nào sau đây?

Mạch 4/4

Đổi cơ số Lôgarit

Khi cần đổi sang cơ số khác, ta sử dụng công thức đổi cơ số: $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ . Công thức này cho phép ta chuyển đổi giữa các cơ số khác nhau. Đặc biệt, lôgarit thập phân có cơ số 10, ký hiệu là $\log b$ , và lôgarit tự nhiên có cơ số $e$ , ký hiệu là $\ln b$ .

Theo công thức đổi cơ số, $\log_4 16$ có thể viết lại thành $\log_2$ của số nào?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

log_a(b)=α ⟺ a^α=b
log_a(1)=0, log_a(a)=1
log_a(xy)=log_a(x)+log_a(y)
log_a(xᵅ)=α·log_a(x)
Đổi cơ số: log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)

Lỗi hay gặp

Lấy logarit của số ≤ 0
Sửa: Chỉ định nghĩa log_a(b) khi b>0.
log(x+y)=logx+logy
Sửa: Sai! Chỉ có log(xy)=logx+logy.
Nhầm cơ số a=1
Sửa: Cơ số phải a>0 và a≠1.

Quy trình

Quy trình giải

1

Nhớ định nghĩa logarit

log_a(b)=x ⟺ aˣ=b (a>0, a≠1, b>0); ln(x)=log_e(x); lg(x)=log₁₀(x).

2

Áp dụng tính chất cơ bản

log_a(MN)=log_a(M)+log_a(N); log_a(M/N)=log_a(M)−log_a(N); log_a(Mⁿ)=n·log_a(M).

💡 Điều kiện: M,N>0, a>0, a≠1

3

Đổi cơ số

log_a(b) = log_c(b)/log_c(a); thường đổi về cơ số 10 hoặc e để tính.

4

Tính logarit đặc biệt

log_a(a)=1; log_a(1)=0; log_a(aⁿ)=n; a^{log_a(b)}=b.

5

Rút gọn biểu thức

Dùng các tính chất kết hợp để rút gọn, đưa về dạng đơn giản nhất.

Ví dụ 1/4

Ví dụ 1

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1

L1

Tính giá trị của các biểu thức lôgarit sau:

\log_2 8

,

\log_3 \dfrac{1}{9}

,

\log_{10} 1000

,

\ln e^5

.

Ví dụ 2/4

Ví dụ 2

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2

L2

Rút gọn biểu thức

A = \log_3 54 + \log_3 \dfrac{3}{2} - 2\log_3 3

.

Ví dụ 3/4

Ví dụ 3

VÍ DỤ 3 · Ví dụ 3

L2

Cho

\log_2 3 = a

. Tính

\log_{12} 18

theo

a

.

Ví dụ 4/4

Ví dụ 4

VÍ DỤ 4 · Ví dụ 4

L2

Rút gọn biểu thức

B = \dfrac{\log_a \left(a^2 \sqrt{b}\right) - \log_b \left(\sqrt[3]{a} b^3\right)}{\log_a b}

, với

a, b > 0

,

a, b \neq 1

.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Áp dụng tính chất logarit để tính hoặc rút gọn biểu thức phức tạp.

1Phân tích biểu thức dưới log thành tích/thương/lũy thừa
2Dùng tính chất log tách thành tổng/hiệu
3Rút gọn kết quả

⚠️ log_a(a)=1 là đẳng thức hay dùng

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Logarit "nén" những con số chênh lệch hàng tỉ lần vào thang đo dễ đọc — nền của nhiều thang đo khoa học.

Địa chất: Thang Richter của động đất là logarit: mỗi độ tăng = mạnh gấp 10 lần.

Hóa học: Độ pH = −log[H⁺] đo tính axit/bazơ của dung dịch.

Âm thanh: Decibel (dB) là thang logarit của cường độ âm — vì sao 100dB ồn hơn 90dB rất nhiều.

Thú vị: Động đất 7 độ Richter mạnh gấp 1000 lần (10³) trận 4 độ về biên độ — thang logarit khiến những con số khổng lồ trở nên dễ nói tới!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Giá trị $\log_2 8$ bằng

2

Giá trị của $\log 10000$ (lôgarit thập phân) bằng:

3

Giá trị của $\log_{3} 1$ bằng:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)