Một hàm số $f$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu thỏa mãn ba điều kiện: $f$ xác định tại $x_0$, $\lim_{x\to x_0}f(x)$ tồn tại, và $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$. Điều này có nghĩa là đồ thị hàm số không bị đứt quãng tại điểm đó.

Hàm số $f$ được gọi là liên tục trên một khoảng $(a;b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm $x$ thuộc khoảng đó. Tương tự, $f$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ nếu nó liên tục trên khoảng $(a;b)$ và liên tục bên phải tại $a$ ($\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$), liên tục bên trái tại $b$ ($\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$).

Một số lớp hàm số quen thuộc có tính chất liên tục đặc biệt. Hàm đa thức liên tục trên toàn tập số thực $\mathbb{R}$. Các hàm phân thức, hàm chứa căn thức, hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot) liên tục trên tập xác định của chúng. Điều này giúp việc khảo sát sự biến thiên của hàm số trở nên thuận tiện hơn.

Định lý này phát biểu rằng: Nếu hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f(a) \cdot f(b) < 0$ (tức là $f(a)$ và $f(b)$ trái dấu), thì phương trình $f(x)=0$ chắc chắn có ít nhất một nghiệm $c$ nằm trong khoảng $(a;b)$. Đây là công cụ hữu ích để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình.