Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn là $L$ nếu với mọi số $\epsilon > 0$ tùy ý, tồn tại một số nguyên dương $n_0$ sao cho với mọi $n > n_0$ thì $|u_n - L| < \epsilon$. Ký hiệu: $\lim_{n\to\infty} u_n = L$ hoặc $u_n \to L$ khi $n \to \infty$. Các giới hạn cơ bản thường gặp là $\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ và $\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n^k} = 0$ với $k \in \mathbb{N}^*$.

Nếu $\lim_{n\to\infty} u_n = a$ và $\lim_{n\to\infty} v_n = b$ với $a, b \in \mathbb{R}$ thì ta có các tính chất sau: $\lim_{n\to\infty} (u_n \pm v_n) = a \pm b$, $\lim_{n\to\infty} (u_n \cdot v_n) = a \cdot b$, và $\lim_{n\to\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{a}{b}$ nếu $b \neq 0$. Các tính chất này cho phép ta tính giới hạn của các biểu thức phức tạp hơn bằng cách áp dụng cho các giới hạn đã biết.

Một số dãy số có thể tiến ra vô cùng. Ví dụ, $\lim_{n\to\infty} n^2 = +\infty$. Khi gặp dạng vô định như $\dfrac{\infty}{\infty}$, ta thường chia cả tử và mẫu của biểu thức cho lũy thừa cao nhất của $n$. Điều này giúp đưa về các giới hạn cơ bản đã biết, ví dụ $\lim \dfrac{1}{n^k}=0$.

Một cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q$ thỏa mãn $|q|<1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính bằng công thức $S = \dfrac{u_1}{1-q}$, trong đó $u_1$ là số hạng đầu tiên. Công thức này rất hữu ích để tính tổng của các chuỗi vô hạn hội tụ.