ThoátLý thuyếtCấp số nhân Công cụ
1/12

Trang 1: Định nghĩa Cấp số nhân

Mạch 1/4

Định nghĩa Cấp số nhân

Một dãy số (un)(u_n) được gọi là cấp số nhân nếu kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi qq. Số qq được gọi là công bội của cấp số nhân. Điều kiện là un+1=un⋅qu_{n+1} = u_n \cdot q với qeq0q eq 0.

Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?

Mạch 2/4

Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu là u1u_1 và công bội là qq, thì số hạng thứ nn có thể được tính bằng công thức: un=u1⋅qn−1u_n = u_1 \cdot q^{n-1}. Công thức này giúp ta tìm trực tiếp một số hạng bất kỳ mà không cần tính các số hạng đứng trước nó.

Cho cấp số nhân có u1=3u_1 = 3 và q=2q = 2. Số hạng thứ 4 là bao nhiêu?

Mạch 3/4

Tính chất của Cấp số nhân

Trong một cấp số nhân, bình phương của một số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng tích của hai số hạng đứng ngay trước và ngay sau nó. Cụ thể, với k≥2k \ge 2, ta có uk2=uk−1⋅uk+1u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1}. Tính chất này hữu ích để kiểm tra xem một dãy số có phải là cấp số nhân hay không.

Cho cấp số nhân (un)(u_n). Nếu u2=6u_2 = 6 và u4=54u_4 = 54, thì u3u_3 bằng bao nhiêu?

Mạch 4/4

Tổng $n$ số hạng đầu

Tổng của nn số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, ký hiệu là SnS_n, được tính bằng công thức: Sn=u1⋅qn−1q−1S_n = u_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}, với điều kiện công bội qeq1.Ne^ˊuq=1,thıˋSn=n⋅u1q eq 1. Nếuq=1, thìS_n = n \cdot u_1.

Tính tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân có u1=1u_1 = 1 và q=3q = 3.

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

  • Công bội q = u(n+1)/un không đổi
  • un = u1·q^(n−1)
  • uk² = u(k−1)·u(k+1)
  • Sn = u1(qⁿ−1)/(q−1), q≠1
  • q>1 tăng nhanh (hàm mũ)

Lỗi hay gặp

Lỗi hay gặp

  • Dùng q^n thay vì q^(n−1)
    Sửa: un=u1·q^(n−1).
  • Áp dụng tổng khi q=1
    Sửa: Nếu q=1 thì Sn=n·u1.
  • Quên điều kiện q≠0
    Sửa: Cấp số nhân có công bội khác 0.

Quy trình

Quy trình giải

1

Nhận biết cấp số nhân

Dãy (uₙ) là CSN nếu uₙ₊₁/uₙ=q không đổi (q≠0) với mọi n; q là công bội.

2

Tính số hạng tổng quát

uₙ = u₁·qⁿ⁻¹; lưu ý q≠1 và q≠0; u₁≠0.

💡 Nếu q=1 thì dãy hằng; q=−1 thì dãy xen kẽ dấu

3

Tính tổng n số hạng đầu

Sₙ = u₁(qⁿ−1)/(q−1) khi q≠1; Sₙ = n·u₁ khi q=1.

4

Tính tổng vô hạn

Khi |q|<1, tổng vô hạn S∞ = u₁/(1−q); ứng dụng trong phân số tuần hoàn.

5

Lập hệ theo điều kiện

Từ các điều kiện về u₁, q, Sₙ lập hệ phương trình, lưu ý uₙ=u₁·qⁿ⁻¹>0 khi q>0.

Ví dụ 1/2

Tìm công bội và số hạng thứ 5

VÍ DỤ 1 · Tìm công bội và số hạng thứ 5
L2
Cho cấp số nhân (un)(u_n) có số hạng đầu u1=3u_1 = 3 và số hạng thứ ba u3=27u_3 = 27. Tìm công bội qq và số hạng thứ 5 u5u_5.

Ví dụ 2/2

Tính tổng n số hạng

VÍ DỤ 2 · Tính tổng n số hạng
L3
Cho cấp số nhân (un)(u_n) với u1=2u_1 = 2 và q=−3q = -3. Tính tổng 4 số hạng đầu tiên S4S_4.

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Áp dụng công thức số hạng và tổng của cấp số nhân.

  1. 1Xác định u₁ và q
  2. 2Tính uₙ=u₁·qⁿ⁻¹
  3. 3Tính Sₙ=u₁(qⁿ-1)/(q-1)

⚠️ Kiểm tra q≠0 và q≠1 trước khi dùng công thức Sₙ

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Cấp số nhân mô tả tăng trưởng theo cấp số nhân — từ lãi kép đến lan truyền dịch bệnh.

Tài chính: Lãi kép: vốn nhân với (1+r) mỗi kỳ — vì sao đầu tư sớm sinh lời gấp bội.
Sinh học: Vi khuẩn phân đôi, dịch bệnh lan theo cấp số nhân ở giai đoạn đầu.
Công nghệ: Định luật Moore: số transistor gấp đôi sau mỗi ~2 năm.

Thú vị: Nếu gấp đôi 1 hạt gạo trên 64 ô bàn cờ vua, ô cuối cần hơn 18 tỉ tỉ hạt — nhiều hơn toàn bộ gạo loài người từng sản xuất. Sức mạnh của cấp số nhân!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Dãy số nào sau đây là một cấp số nhân?

2

Cấp số nhân (un)(u_n) có u1=5u_1=5, u2=15u_2=15. Công bội qq bằng:

3

Cấp số nhân (un)(u_n) có u1=−5u_1=-5, công bội q=−3q=-3. Số hạng u4u_{4} bằng:

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)

Luyện tập