Phương trình bậc hai là phương trình có dạng tổng quát $ax^2+bx+c=0$, với $a, b, c$ là các hệ số và điều kiện bắt buộc là $a \neq 0$. Đây là dạng phương trình cơ bản và có nhiều ứng dụng trong toán học, đặc biệt là ở chương trình lớp 10. Việc xác định đúng dạng phương trình bậc hai là bước đầu tiên để giải nó.

Để xác định số nghiệm của phương trình bậc hai, ta sử dụng biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$. Giá trị của $\Delta$ cho biết phương trình có bao nhiêu nghiệm thực:

• Nếu $\Delta > 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Nếu $\Delta = 0$, phương trình có nghiệm kép $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• Nếu $\Delta < 0$, phương trình vô nghiệm thực.

Nếu phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ ($a \neq 0$) có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2$, thì chúng có mối liên hệ đặc biệt qua hệ thức Viète: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ và $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Hệ thức này rất hữu ích để tính toán các biểu thức liên quan đến nghiệm mà không cần tìm nghiệm cụ thể.

Hệ thức Viète cho phép ta tính nhanh các biểu thức đối xứng của hai nghiệm $x_1, x_2$. Đặt $S = x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}$ và $P = x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Khi đó, ta có thể tính $x_1^2+x_2^2 = S^2 - 2P$ và $|x_1-x_2| = \sqrt{S^2-4P}$. Các công thức này giúp giải quyết các bài toán phức tạp hơn.