MathVN — Học Toán đúng cách

Mạch 1/5

Định nghĩa hàm số và tập xác định

Hàm số $y = f(x)$ là một quy tắc cho mỗi giá trị $x$ thuộc tập xác định tương ứng với một và chỉ một giá trị $y$ . Tập xác định (TXĐ) của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị $x$ mà tại đó hàm số có nghĩa. Tập giá trị là tập hợp tất cả các giá trị $y$ mà hàm số có thể nhận được.

Tập xác định của hàm số là gì?

Mạch 2/5

Tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số $f$ được gọi là đồng biến trên khoảng $(a,b)$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in (a,b)$ mà $x_1 < x_2$ , ta có $f(x_1) < f(x_2)$ . Ngược lại, hàm số nghịch biến trên $(a,b)$ nếu $x_1 < x_2$ mà $f(x_1) > f(x_2)$ . Tính đơn điệu giúp mô tả sự tăng hoặc giảm của hàm số trên từng khoảng.

Hàm số $f$ đồng biến trên khoảng $(a,b)$ khi nào?

Mạch 3/5

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Một hàm số $f$ được gọi là hàm chẵn nếu $f(-x) = f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định. Đồ thị hàm chẵn đối xứng qua trục tung $Oy$ . Hàm số $f$ là hàm lẻ nếu $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định. Đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ $O$ . Ví dụ: $y=x^2$ là hàm chẵn, $y=x^3$ là hàm lẻ.

Cho hàm số $f(x) = |x|$ . Hàm số này là gì?

Mạch 4/5

Hàm số bậc hai và đồ thị Parabol

Hàm số bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$ với $a eq 0. Đồ thị của hàm số này là một đường cong parabol. Đỉnh của parabol có tọa độI(x_0, y_0)vớix_0 = -b/(2a). Nếua>0, parabol quay bề lõm lên trên; nếua<0$ , parabol quay bề lõm xuống dưới.

Tìm hoành độ đỉnh của parabol $y = x^2 - 4x + 3$ .

Mạch 5/5

Tịnh tiến đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số $y = f(x) + k$ là đồ thị hàm $y = f(x)$ được tịnh tiến lên trên $k$ đơn vị nếu $k>0$ hoặc xuống dưới $|k|$ đơn vị nếu $k<0$ . Đồ thị hàm số $y = f(x-h)$ là đồ thị hàm $y = f(x)$ được tịnh tiến sang phải $h$ đơn vị nếu $h>0$ hoặc sang trái $|h|$ đơn vị nếu $h<0$ .

Đồ thị của hàm số $y = x^2 - 2$ thu được từ đồ thị hàm số $y = x^2$ bằng cách nào?

Ghi nhớ

Điểm cần nhớ

TXĐ: giá trị $x$ làm hàm số có nghĩa.
Đồng biến: $x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ .
Hàm chẵn: $f(-x)=f(x)$ ; hàm lẻ: $f(-x)=-f(x)$ .
Parabol $ax^2+bx+c$ : đỉnh tại $x=-b/(2a)$ .
Dịch đồ thị: $+k$ lên/ $-k$ xuống; $f(x-h)$ sang phải $h$ .

Lỗi hay gặp

TXĐ của $f(x)=\frac{1}{x-2}$ là $\mathbb{R}$ .
Sửa: Mẫu $x-2\neq 0\Rightarrow x\neq 2$ . TXĐ: $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ .
Kết luận $f(x)=x^2$ là hàm lẻ vì đồ thị đối xứng.
Sửa: $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$ : đây là hàm chẵn, không phải lẻ.

Quy trình

Quy trình giải

1

Xác định loại hàm số

Nhận dạng hàm bậc nhất y = ax+b (a≠0) hoặc hàm bậc hai y = ax²+bx+c (a≠0).

2

Tìm tập xác định

Với hàm bậc nhất và bậc hai dạng đa thức, TXĐ = ℝ trừ khi có phân thức hoặc căn thức.

💡 Mẫu số ≠ 0, biểu thức dưới căn ≥ 0

3

Tìm đỉnh/hệ số góc

Hàm bậc hai: đỉnh I(-b/2a; -Δ/4a); hàm bậc nhất: hệ số góc a xác định chiều nghiêng.

4

Lập bảng biến thiên

Xét dấu a để biết hàm đồng biến hay nghịch biến; bậc hai có cực trị tại đỉnh.

5

Vẽ đồ thị

Xác định các điểm đặc biệt (giao Ox, Oy, đỉnh) rồi vẽ parabol hoặc đường thẳng qua chúng.

Ví dụ 1/2

Ví dụ 1

VÍ DỤ 1 · Ví dụ 1

L2

Tìm TXĐ của

f(x)=\sqrt{3-x}+\frac{1}{x+1}

Ví dụ 2/2

Ví dụ 2

VÍ DỤ 2 · Ví dụ 2

L2

Hàm

f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}

: rút gọn và xác định TXĐ

Dạng toán

Dạng toán thường gặp

Tìm tập giá trị x để hàm xác định dựa vào điều kiện mẫu khác 0, căn không âm.

1Viết điều kiện cho từng biểu thức
2Giải bất phương trình
3Lấy giao các điều kiện

⚠️ Với đa thức thuần túy, TXĐ luôn là ℝ

Ứng dụng

Toán này dùng ở đâu

Hàm số bậc hai mô tả quỹ đạo ném và mọi hiện tượng tối ưu hình parabol.

Thể thao: Quỹ đạo bóng đá, bóng rổ là parabol — đỉnh parabol là điểm cao nhất.

Kiến trúc: Cầu treo, cổng vòm parabol phân bố lực tối ưu.

Kinh tế: Hàm lợi nhuận bậc hai có điểm cực đại cho sản lượng tối ưu.

Thú vị: Cổng Gateway Arch ở Mỹ cao 192m có hình gần giống parabol lật ngược — đường cong này phân bố trọng lực hoàn hảo nên đứng vững không cần trụ giữa!

Bài tập thử

Làm thử vài câu

1

Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{x - 3}$ là:

2

Tọa độ đỉnh của parabol $y = x^2 - 4x + 3$ là:

3

Hàm số $y = -x^2 + 2x + 1$ đồng biến trên khoảng nào?

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Bắt đầu luyện

Xong lý thuyết — bấm Luyện tập ở cột bên phải (hoặc Enter)