Xét tam thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a eq 0. Biệt thức\Delta = b^2-4ac. Tùy thuộc vào dấu của\Delta$, ta có:

• Nếu $\Delta < 0$: $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
• Nếu $\Delta = 0$: $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x eq -b/(2a)$.
• Nếu $\Delta > 0$: $f(x)$ cùng dấu với $a$ khi $x$ nằm ngoài khoảng hai nghiệm và trái dấu với $a$ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm.

Để giải bất phương trình bậc hai $ax^2+bx+c > 0$ (hoặc $<0$, $\ge 0$, $\le 0$), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (nếu có).
2. Lập bảng xét dấu của tam thức $f(x)=ax^2+bx+c$.
3. Dựa vào chiều của bất phương trình và dấu của $a$, chọn các khoảng nghiệm thích hợp.

Xét bất phương trình $x^2 - 5x + 6 > 0$. Ta có $a=1$, $b=-5$, $c=6$. Biệt thức $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0$. Phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1=2$ và $x_2=3$. Vì $a=1>0$, tam thức $f(x)=x^2-5x+6$ cùng dấu $a$ ngoài khoảng hai nghiệm và trái dấu $a$ trong khoảng hai nghiệm. Bảng xét dấu:

Do đó, bất phương trình $x^2 - 5x + 6 > 0$ có tập nghiệm là $S = (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$.

Một điều kiện quan trọng khi làm toán là tìm tham số để tam thức bậc hai $ax^2+bx+c$ luôn dương (hoặc luôn âm) với mọi $x$. Để $ax^2+bx+c > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần hai điều kiện đồng thời:

1. Hệ số $a$ phải dương ($a>0$), để $f(x)$ có thể dương khi $x$ rất lớn hoặc rất nhỏ.
2. Biệt thức $\Delta$ phải âm ($\Delta < 0$), để $f(x)$ không đổi dấu và luôn cùng dấu với $a$.